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Formule · Seconde

Formule : Règle du signe négatif

Diviser par un négatif inverse l'inégalité.

diviser par k < 0 ⇒ on inverse le sens de l'inégalité

Ce que dit la formule

On isole x comme dans une équation. Mais si on multiplie ou divise les deux membres par un nombre négatif, on inverse le sens de l'inégalité (< devient >).

La solution s'exprime sous forme d'intervalle.

L'inversion du sens n'est pas une bizarrerie : multiplier par un nombre négatif renverse l'ordre des nombres. 2 < 5, mais -2 > -5. La règle ne fait qu'en tirer les conséquences.

Ajouter ou retrancher un nombre, en revanche, ne change jamais le sens : seules la multiplication et la division par un négatif l'inversent.

Exemple

-2x + 1 ≥ 7 ⇒ -2x ≥ 6 ⇒ x ≤ -3 (le sens s'inverse en divisant par -2).

Deuxième exemple

-3x + 4 < 10 : on retranche 4, soit -3x < 6 ; on divise par -3 en inversant le sens, d'où x > -2, soit S = ]-2 ;+∞[.

Piège à éviter

Oublier d'inverser le sens en divisant par un négatif est l'erreur la plus fréquente.

Questions fréquentes

Pourquoi diviser par un négatif inverse-t-il l'inégalité ?
Parce que la multiplication par un nombre négatif renverse l'ordre : 2 < 5 devient -2 > -5. On applique la même logique aux deux membres.
Le sens change-t-il quand on ajoute un nombre négatif ?
Non. Seules la multiplication et la division par un négatif inversent le sens ; l'addition et la soustraction ne le font jamais.
Une inéquation a-t-elle toujours des solutions ?
Presque toujours un intervalle, mais pas systématiquement : 0x < -1 n'a aucune solution, tandis que 0x < 1 est vraie pour tout x.

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