Principe de la substitution : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

On isole une inconnue (par exemple $y$ y) dans une équation, puis on remplace $y$ y par cette expression dans l'autre équation. On obtient une équation à une seule inconnue.

On résout, puis on remonte pour trouver la deuxième inconnue.

La substitution repose sur un principe simple : si $y$ y vaut $2 x$ 2x, alors partout où figure $y$ y on peut écrire $2 x$ 2x à la place. On ramène ainsi deux inconnues à une seule.

On choisit l'inconnue la plus facile à isoler, celle dont le coefficient vaut $1$ 1 ou $- 1$ -1 : c'est ce qui évite les fractions dans toute la suite du calcul.

Exemple

{y = 2 x x + y = 6

y = 2x ; x + y = 6 : on remplace,

x + 2 x = 6

x + 2x = 6,

x = 2

x = 2,

y = 4

y = 4.

Deuxième exemple

{x = 3 y - 1 2 x + y = 12

x = 3y - 1 ; 2x + y = 12 : on remplace

x

x, ce qui donne

2 (3 y - 1) + y = 12

2(3y-1) + y = 12, soit

7 y = 14

7y = 14 et

y = 2

y = 2, puis

x = 3 \times 2 - 1 = 5

x = 3× 2 - 1 = 5.

Piège à éviter

Bien remplacer dans l'autre équation, pas dans celle d'où vient l'expression.

Questions fréquentes

Dans quelle équation faut-il remplacer ?

Dans l'autre, jamais dans celle d'où vient l'expression : on obtiendrait une identité vraie mais sans aucune information.

Quelle inconnue vaut-il mieux isoler ?

Celle dont le coefficient vaut

1

1 ou

- 1

-1 : l'expression obtenue reste sans fraction, ce qui allège tout le calcul.

Comment s'assurer du résultat ?

En remplaçant le couple trouvé dans les deux équations de départ, et pas seulement dans une.

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Formule : Principe de la substitution