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Formule · Seconde

Formule : Forme d'un système

Deux équations, deux inconnues, un couple solution.

a x + b y = c ; a' x + b' y = c'

Ce que dit la formule

On cherche le couple (x ;y) qui vérifie les deux équations. Deux méthodes : la substitution (on exprime une inconnue) et la combinaison linéaire (on additionne pour éliminer une inconnue).

On vérifie toujours la solution dans les deux équations.

Géométriquement, chaque équation représente une droite. Résoudre le système, c'est chercher leur point d'intersection : d'où un couple unique quand les droites se croisent, aucune solution quand elles sont strictement parallèles, une infinité quand elles sont confondues.

Les deux méthodes sont interchangeables : on choisit la substitution quand une inconnue est facile à isoler, la combinaison linéaire sinon.

Exemple

x + y = 5 ; x - y = 1 a pour solution (3 ;2).

Deuxième exemple

x + y = 5 ; x - y = 1 : en additionnant, 2x = 6 donc x = 3 ; en reportant, 3 + y = 5 donc y = 2. La solution est le couple (3 ;2).

Piège à éviter

Une solution est un couple (x ;y), pas une seule valeur.

Questions fréquentes

Un système peut-il n'avoir aucune solution ?
Oui, quand les droites sont strictement parallèles : x + y = 1 ; x + y = 3 est impossible, une même somme ne pouvant valoir deux nombres différents.
Comment vérifier un couple solution ?
En le remplaçant dans les deux équations : pour (3 ;2), 3 + 2 = 5 ✓ et 3 - 2 = 1 ✓.
Que signifie une infinité de solutions ?
Que les deux équations décrivent la même droite. Tous les couples de points de cette droite conviennent.

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