Triangle de Pascal : la formule et un exemple

En écriture simple : Ligne n : C(n, 0), C(n, 1), …, C(n, n) ; chaque nombre est la somme des deux nombres situés au-dessus

Ce que dit la formule

La ligne $n$ n du triangle (la première est la ligne $0$ 0) contient les coefficients $(0 n), (1 n), \dots, (n n)$ C(n, 0) , C(n, 1) , …, C(n, n). Chaque ligne commence et finit par $1$ 1.

Chaque nombre intérieur est la somme des deux nombres situés juste au-dessus : c'est la relation de Pascal $(k n) = (k - 1 n - 1) + (k n - 1)$ C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k), lue sur le triangle. Elle permet de calculer sans factorielles.

Chaque ligne est symétrique, ce qui traduit $(k n) = (n - k n)$ C(n, k) = C(n, n-k), et la somme des nombres de la ligne $n$ n vaut $2^{n}$ 2ⁿ : $1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2^{4}$ 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2⁴.

Les lignes donnent aussi les coefficients du développement de $(a + b)^{n}$ (a+b)ⁿ : la ligne $3$ 3, soit $1, 3, 3, 1$ 1, 3, 3, 1, donne $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Exemple

Ligne

5

5 à partir de la ligne

4

4 (

1, 4, 6, 4, 1

1, 4, 6, 4, 1) :

1

1 + 4 = 5

1+4=5,

4 + 6 = 10

4+6=10,

6 + 4 = 10

6+4=10,

4 + 1 = 5

4+1=5,

1

1. Donc

(2 5) = 10

C(5, 2) = 10.

Deuxième exemple

Ligne

6

6 à partir de la ligne

5

5 (

1, 5, 10, 10, 5, 1

1, 5, 10, 10, 5, 1) :

1, 6, 15, 20, 15, 6, 1

1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. Ainsi

(3 6) = 20

C(6, 3) = 20, et la somme de la ligne vaut

64 = 2^{6}

64 = 2⁶.

Piège à éviter

La première ligne est la ligne

0

0 (un seul

1

1) : la ligne

1, 4, 6, 4, 1

1, 4, 6, 4, 1 est la ligne

4

4, pas la ligne

5

Les autres formules de le coefficient binomial

Formule du coefficient binomial →

(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

C(n, k) = n!/(k! (n-k)!)Symétrie →

(k n) = (n - k n)

C(n, k) = C(n, n-k)

Questions fréquentes

Comment construire le triangle de Pascal ?

On écrit

1

1 sur la ligne

0

0. Ensuite, chaque ligne commence et finit par

1

1, et chaque nombre intérieur est la somme des deux nombres situés au-dessus de lui.

Pourquoi la somme d'une ligne du triangle de Pascal vaut-elle 2ⁿ ?

La ligne

n

n compte les parties à

0, 1, \dots, n

0, 1, …, n éléments d'un ensemble à

n

n éléments. Ensemble, elles forment toutes les parties, et il y en a

2^{n}

2ⁿ : chaque élément est pris ou non.

Jusqu'où vaut-il la peine de construire le triangle ?

Jusqu'à une dizaine de lignes. Au-delà, la formule avec les factorielles ou la calculatrice est plus rapide que d'écrire toutes les lignes.

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