Comment calculer un écart-type ? Méthode et exemples

Les étapes

1
Calculer la variance V(X)
On calcule d'abord $V (X)$ V(X), en général par König-Huygens $V (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}$ V(X)=E(X²)-(E(X))².
2
Prendre la racine carrée
On applique $σ (X) = V (X)$ σ(X)=√(V(X)). Le résultat s'exprime dans la même unité que $X$ X.

On a calculé $V (X) = 0, 49$ V(X)=0,49 pour une variable $X$ X. Donner son écart-type.

Résultat :

σ (X) = 0, 7

σ(X)=0,7.

$X$ X prend les valeurs $0$ 0 et $10$ 10 avec les probabilités $0, 5$ 0,5 et $0, 5$ 0,5. Calculer son écart-type.

1. $E (X) = 0 \times 0, 5 + 10 \times 0, 5 = 5$ E(X) = 0× 0,5 + 10× 0,5 = 5.
2. $E (X^{2}) = 0^{2} \times 0, 5 + 1 0^{2} \times 0, 5 = 50$ E(X²) = 0²× 0,5 + 10²× 0,5 = 50, donc $V (X) = 50 - 5^{2} = 25$ V(X) = 50 - 5² = 25.
3. $σ (X) = 25 = 5$ σ(X) = √(25) = 5.

Résultat :

σ (X) = 5

σ(X) = 5.

L'écart-type est dans la même unité que

X

X : c'est lui qu'on interprète, pas la variance.

Quelles valeurs élève-t-on au carré ?

Celles prises par

X

X, jamais les probabilités. On calcule la somme des

x^{2}

x² pondérés par leurs probabilités.

Peut-on obtenir une variance négative ?

Non. Une variance négative signale une erreur de calcul, typiquement une confusion entre

E (X^{2})

E(X²) et

(E (X))^{2}

(E(X))².

Que faire si l'énoncé donne déjà la variance ?

Une seule racine carrée suffit : tout le travail était dans le calcul de la variance.

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Dénombrement, probabilités conditionnelles, formule de Bayes, variables aléatoires et loi des grands nombres.

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