Formule · Première spé maths

Formule du discriminant

Le nombre dont le signe donne le nombre de racines du trinôme.

Δ = b^{2} - 4 a c

Δ = b² - 4ac

En écriture simple : Δ = b² − 4ac

Ce que dit la formule

Pour un trinôme $a x^{2} + b x + c$ ax² + bx + c avec $a \neq = 0$ a ≠ 0, on calcule $Δ = b^{2} - 4 a c$ Δ = b² - 4ac. On élève $b$ b au carré, puis on soustrait $4 a c$ 4ac.

Son signe se lit ainsi : si $Δ > 0$ Δ > 0, l'équation a deux racines réelles distinctes ; si $Δ = 0$ Δ = 0, une racine double ; si $Δ < 0$ Δ < 0, aucune racine réelle.

Exemple

Pour

x^{2} - 5 x + 6

x² - 5x + 6 :

a = 1

a = 1,

b = - 5

b = -5,

c = 6

c = 6, donc

Δ = (- 5)^{2} - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1 > 0

Δ = (-5)² - 4× 1× 6 = 25 - 24 = 1 > 0 : deux racines.

Piège à éviter

Bien reporter les signes : avec

b = - 5

b = -5, on a

b^{2} = (- 5)^{2} = 25

b² = (-5)² = 25 (positif). Et repérer les coefficients manquants : dans

x^{2} - 3

x² - 3, on a

b = 0

b = 0.

Les autres formules de le discriminant

Racines quand Δ > 0 →

x_{1} = \frac{- b - Δ}{2 a} x_{2} = \frac{- b + Δ}{2 a}

x₁ = (-b - √(Δ))/2a x₂ = (-b + √(Δ))/2a Racine double quand Δ = 0 →

x_{0} = \frac{- b}{2 a}

x₀ = (-b)/2a Somme et produit des racines →

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} x_{1} \times x_{2} = \frac{c}{a}

x₁ + x₂ = -b/a x₁ × x₂ = c/a Forme factorisée →

a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

ax² + bx + c = a (x - x₁)(x - x₂)

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