Formule de définition de la variance : énoncé et exemple

Ce que dit la formule

Cette formule traduit directement la définition : pour chaque valeur $x_{i}$ xᵢ que peut prendre $X$ X, on calcule l'écart à la moyenne $x_{i} - μ$ xᵢ - μ, on l'élève au carré, puis on en fait la moyenne pondérée par les probabilités $p_{i}$ pᵢ.

Le carré sert à deux choses : rendre tous les écarts positifs (sinon les écarts positifs et négatifs se compenseraient) et pénaliser davantage les grands écarts. C'est pourquoi la variance est toujours $\geq 0$ ≥ 0.

Exemple

Pour la loi

P (X = 1) = 0, 2

P(X=1)=0,2,

P (X = 2) = 0, 5

P(X=2)=0,5,

P (X = 3) = 0, 3

P(X=3)=0,3, on a

μ = 2, 1

μ = 2,1 puis

V (X) = 0, 2 (1 - 2, 1)^{2} + 0, 5 (2 - 2, 1)^{2} + 0, 3 (3 - 2, 1)^{2} = 0, 49

V(X) = 0,2(1-2,1)² + 0,5(2-2,1)² + 0,3(3-2,1)² = 0,49.

Piège à éviter

En pratique, cette formule est plus longue à appliquer que celle de König-Huygens, car il faut d'abord connaître

μ

μ puis calculer trois écarts. On la garde surtout pour comprendre le sens de la variance.

Les autres formules de la variance

Formule de König-Huygens →

V (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}

V(X) = E(X²) - (E(X))² Variance d'une transformation affine aX + b →

V (a X + b) = a^{2} V (X)

V(aX + b) = a² V(X)Variance de la loi binomiale →

V (X) = n p (1 - p) pour X \sim B (n; p)

V(X) = np(1-p) pour X ~ B (n ; p)

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La variance →

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