Comment résoudre un système par combinaison linéaire ? Méthode et exemples

Les étapes

1
Aligner les coefficients
On multiplie une (ou les deux) équations pour rendre opposés les coefficients d'une inconnue.
2
Additionner
Une inconnue disparaît ; on résout l'autre.
3
Remonter
On remplace pour trouver la deuxième inconnue.

Résoudre ${2 x + y = 7 x - y = 2$ 2x + y = 7 ; x - y = 2.

1.Les coefficients de $y$ y sont déjà opposés ( $+ 1$ +1 et $- 1$ -1).
2.On additionne : $3 x = 9$ 3x = 9, donc $x = 3$ x = 3.
3. $3 - y = 2$ 3 - y = 2, donc $y = 1$ y = 1. Vérif : $2 \times 3 + 1 = 7$ 2× 3 + 1 = 7 ✓.

Résultat :

(3; 1)

(3 ;1).

Résoudre ${3 x + 4 y = 10 5 x + 6 y = 16$ 3x + 4y = 10 ; 5x + 6y = 16.

1.Pour éliminer $x$ x, on multiplie la première par $5$ 5 et la seconde par $- 3$ -3 : $15 x + 20 y = 50$ 15x + 20y = 50 et $- 15 x - 18 y = - 48$ -15x - 18y = -48.
2.On additionne : $2 y = 2$ 2y = 2, donc $y = 1$ y = 1.
3.On reporte dans la première équation de départ : $3 x + 4 = 10$ 3x + 4 = 10, donc $x = 2$ x = 2.

Résultat :

(2; 1)

(2 ;1).

Si les coefficients ne sont pas opposés, multiplier d'abord une équation.

Par quelle inconnue commencer l'élimination ?

Par celle dont les coefficients se manipulent le plus simplement, en général celle qui a déjà des coefficients opposés ou égaux.

Faut-il multiplier les deux équations ?

Pas toujours. Si un coefficient est multiple de l'autre, une seule multiplication suffit : pour

2 x

2x et

4 x

4x, on multiplie la première par

- 2

-2.

Comment retrouver la seconde inconnue ?

En reportant la valeur trouvée dans l'une des équations de départ, jamais dans une équation transformée où une erreur aurait pu se glisser.

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