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Méthode · Seconde

Résoudre un système par substitution

Résoudre un système par substitution, c'est ramener deux équations à deux inconnues à une seule équation à une inconnue. On isole une inconnue dans l'équation où c'est le plus simple, on reporte l'expression obtenue dans l'autre équation, on résout, puis on remonte pour trouver la seconde inconnue. La solution est un couple (x ;y), pas une valeur isolée. Cette méthode est la plus rapide quand une inconnue a pour coefficient 1 ; sinon la combinaison linéaire évite les fractions.

Les étapes

  1. 1

    Isoler une inconnue

    Dans l'équation la plus simple.
  2. 2

    Remplacer

    Dans l'autre équation, pour avoir une seule inconnue.
  3. 3

    Résoudre et remonter

    On trouve une inconnue, puis l'autre.

Exemple corrigé

Résoudre y = 2x ; x + y = 6.

  1. 1.y est déjà isolé : y = 2x.
  2. 2.On remplace : x + 2x = 6, soit 3x = 6, x = 2.
  3. 3.y = 2× 2 = 4.
Résultat : (2 ;4).

Deuxième exemple

Résoudre x = 3y - 1 ; 2x + y = 12.

  1. 1.x est déjà isolé : x = 3y - 1.
  2. 2.On remplace dans la seconde équation : 2(3y-1) + y = 12, soit 7y - 2 = 12, donc y = 2.
  3. 3.On remonte : x = 3× 2 - 1 = 5.
Résultat : (5 ;2).

Piège à éviter

Pratique surtout quand une inconnue est facile à isoler.

Questions fréquentes

Que faire si aucune inconnue n'est isolée ?
On en isole une soi-même. Dans x + 4y = 9, on écrit x = 9 - 4y et on poursuit normalement.
La solution est-elle un nombre ou un couple ?
Un couple (x ;y). Donner seulement x laisse la résolution inachevée.
Que faire si on aboutit à une égalité sans inconnue ?
0 = 0 signifie une infinité de solutions, les deux équations étant équivalentes ; une égalité fausse comme 0 = 5 signifie qu'il n'y a aucune solution.

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