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Méthode · Seconde

Résoudre une équation produit nul

Résoudre une équation produit nul repose sur une propriété unique à zéro : un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs l'est. La méthode consiste donc à s'assurer d'abord que l'équation est bien de la forme « produit = 0 », en factorisant si nécessaire, puis à résoudre séparément chaque facteur égal à zéro. Les solutions de l'équation sont la réunion de toutes celles obtenues.

Les étapes

  1. 1

    Avoir un produit = 0

    Si besoin, on factorise pour obtenir A × B = 0.
  2. 2

    Annuler chaque facteur

    On résout A = 0 et B = 0.
  3. 3

    Réunir les solutions

    On rassemble toutes les solutions trouvées.

Exemple corrigé

Résoudre (x-2)(x+3) = 0.

  1. 1.Un produit est nul si un facteur l'est.
  2. 2.x - 2 = 0 ⇒ x = 2 ; x + 3 = 0 ⇒ x = -3.
  3. 3.S = {-3 ;2}.
Résultat : S = {-3 ;2}.

Deuxième exemple

Résoudre (2x+6)(x-4) = 0.

  1. 1.L'équation est déjà un produit égal à zéro.
  2. 2.2x + 6 = 0 donne x = -3.
  3. 3.x - 4 = 0 donne x = 4.
Résultat : S = {-3 ;4}.

Piège à éviter

On ne développe pas : on garde le produit pour appliquer la règle.

Questions fréquentes

Faut-il développer avant de résoudre ?
Surtout pas : développer détruit la forme produit, qui est justement la seule permettant de conclure facteur par facteur.
Peut-on perdre des solutions en factorisant ?
Oui, si l'on simplifie par une expression susceptible de s'annuler. Diviser x² = 5x par x fait perdre la solution 0.
Faut-il ordonner les solutions ?
Ce n'est pas obligatoire, mais l'usage est de les écrire en ordre croissant : S = {-3 ;4}.

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