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Méthode · Seconde

Résoudre une inéquation du premier degré

Résoudre une inéquation du premier degré suit exactement la même mécanique qu'une équation — regrouper les x d'un côté, les nombres de l'autre, diviser — avec une règle supplémentaire à ne jamais oublier : diviser ou multiplier par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité. Le résultat n'est pas une valeur isolée mais un intervalle, qu'on écrit avec le bon type de crochet selon que l'inégalité est stricte ou large.

Les étapes

  1. 1

    Regrouper

    Les x d'un côté, les nombres de l'autre.
  2. 2

    Diviser

    Par le coefficient de x ; si négatif, on inverse le sens.
  3. 3

    Écrire l'intervalle

    On donne la solution sous forme d'intervalle.

Exemple corrigé

Résoudre 2x + 1 > 5.

  1. 1.2x > 5 - 1, soit 2x > 4.
  2. 2.On divise par 2 (positif, sens inchangé) : x > 2.
  3. 3.S = ]2 ;+∞[.
Résultat : S = ]2 ;+∞[.

Deuxième exemple

Résoudre -3x + 4 < 10.

  1. 1.On retranche 4 aux deux membres : -3x < 6.
  2. 2.On divise par -3, qui est négatif : le sens s'inverse, donc x > -2.
  3. 3.L'inégalité est stricte : la borne -2 est exclue.
Résultat : S = ]-2 ;+∞[.

Piège à éviter

Inverser le sens uniquement quand on divise par un nombre négatif.

Questions fréquentes

Peut-on résoudre une inéquation comme une équation ?
Oui pour tous les gestes de regroupement. La seule différence apparaît à la division par un nombre négatif, où le sens s'inverse.
Quel crochet mettre à la borne ?
Ouvert pour une inégalité stricte (< ou >), fermé pour une inégalité large (≤ ou ≥). Ici x > -2 donne ]-2 ;+∞[.
L'infini prend-il un crochet fermé ?
Jamais : l'infini n'est pas un nombre, il n'appartient donc pas à l'intervalle. On écrit toujours +∞[ et ]-∞.

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