Comment utiliser les identités remarquables ? Méthode et exemples

Q: Comment identifier a et b quand il y a un coefficient ?

On prend le terme entier : dans (2x-5)2, a vaut 2x, pas x. D'où a2 = 4x2 et non x2.

Q: Laquelle des trois identités sert à factoriser ?

Les trois, lues de droite à gauche. La plus utilisée est a2 - b2 = (a-b)(a+b), qui reconnaît une différence de carrés.

Les étapes

1
Identifier a et b
On repère les deux termes $a$ a et $b$ b.
2
Choisir l'identité
Carré d'une somme/différence, ou produit conjugué.
3
Appliquer
On remplace dans la formule, sans oublier le double produit.

Exemple corrigé

Développer $(x + 3)^{2}$ (x+3)².

1.Forme $(a + b)^{2}$ (a+b)² avec $a = x$ a = x, $b = 3$ b = 3.
2. $(x + 3)^{2} = x^{2} + 2 \times x \times 3 + 3^{2}$ (x+3)² = x² + 2× x × 3 + 3².
3. $= x^{2} + 6 x + 9$ = x² + 6x + 9.

Résultat :

x^{2} + 6 x + 9

x² + 6x + 9.

Deuxième exemple

Développer $(2 x - 5)^{2}$ (2x - 5)².

1.Forme $(a - b)^{2}$ (a-b)² avec $a = 2 x$ a = 2x et $b = 5$ b = 5.
2. $a^{2} = 4 x^{2}$ a² = 4x², $2 ab = 2 \times 2 x \times 5 = 20 x$ 2ab = 2 × 2x × 5 = 20x, $b^{2} = 25$ b² = 25.
3. $(2 x - 5)^{2} = 4 x^{2} - 20 x + 25$ (2x-5)² = 4x² - 20x + 25.

Résultat :

4 x^{2} - 20 x + 25

4x² - 20x + 25.

Piège à éviter

Ne jamais oublier le double produit

2 ab

2ab.

Questions fréquentes

Pourquoi le carré d'une somme n'est-il pas la somme des carrés ?

Parce que développer

(a + b) (a + b)

(a+b)(a+b) donne quatre produits, dont deux valent

ab

ab. Pour

a = 3

a = 3 et

b = 4

b = 4 :

(3 + 4)^{2} = 49

(3+4)² = 49, alors que

9 + 16 = 25

9 + 16 = 25.

Comment identifier a et b quand il y a un coefficient ?

On prend le terme entier : dans

(2 x - 5)^{2}

(2x-5)²,

a

a vaut

2 x

2x, pas

x

x. D'où

a^{2} = 4 x^{2}

a² = 4x² et non

x^{2}

x².

Laquelle des trois identités sert à factoriser ?

Les trois, lues de droite à gauche. La plus utilisée est

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

a² - b² = (a-b)(a+b), qui reconnaît une différence de carrés.

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