Sortir un carré parfait : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

Si le nombre sous la racine contient un carré parfait $k^{2}$ k² en facteur, on le sort : $k^{2} \times a = k a$ √(k² × a) = k√(a).

Pour aller vite, on repère le plus grand carré parfait qui divise le nombre.

Les premiers carrés parfaits à connaître par cœur : $1$ 1, $4$ 4, $9$ 9, $16$ 16, $25$ 25, $36$ 36, $49$ 49, $64$ 64, $81$ 81, $100$ 100, $121$ 121, $144$ 144. Ce sont eux qu'on cherche en facteur sous la racine.

Extraire ne change pas la valeur, seulement l'écriture : $72$ √(72) et $62$ 6√(2) désignent le même nombre, environ $8, 49$ 8,49. La seconde forme est la forme exacte simplifiée attendue.

Exemple

72 = 36 \times 2 = 62

√(72) = √(36 × 2) = 6√(2).

Deuxième exemple

300 = 100 \times 3 = 103

√(300) = √(100 × 3) = 10√(3). Passer par

4 \times 75

4 × 75 obligerait à simplifier une seconde fois :

275 = 2 \times 53 = 103

2√(75) = 2 × 5√(3) = 10√(3).

Piège à éviter

Prendre le plus grand carré :

72 = 36 \times 2

72 = 36× 2 (et non

4 \times 18

4 × 18, qui obligerait à re-simplifier).

Questions fréquentes

Comment repérer le plus grand carré parfait ?

On teste les carrés en descendant :

100

100 divise-t-il

300

300 ? Oui. Sinon on essaie

81

81,

64

64,

49

49… La décomposition en facteurs premiers fonctionne aussi.

Que faire si aucun carré parfait ne divise le nombre ?

Rien : la racine est déjà sous sa forme simplifiée.

15

√(15) ne se simplifie pas.

Peut-on sortir un facteur qui n'est pas un carré ?

Non. Seul un facteur carré sort de la racine, en prenant sa racine :

k^{2} \times a = k a

√(k² × a) = k√(a).

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Formule : Sortir un carré parfait