Produit de racines carrées : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

On regroupe deux racines en une seule : $a \times b = ab$ √(a)×√(b) = √(ab). Souvent, le produit donne un carré parfait, ce qui simplifie le résultat.

Attention : cette règle vaut pour le produit, pas pour la somme ( $a + b \neq = a + b$ √(a) + √(b) ≠ √(a+b)).

La règle transforme deux racines en une seule, ce qui fait souvent apparaître un carré parfait invisible au départ : $2 \times 8$ √(2)×√(8) ne saute pas aux yeux, mais $16$ √(16) si.

Elle s'utilise aussi dans l'autre sens, pour séparer une racine et en extraire un facteur : $45 = 9 \times 5 = 35$ √(45) = √(9)×√(5) = 3√(5).

Exemple

2 \times 8 = 16 = 4

√(2)×√(8) = √(16) = 4.

Deuxième exemple

6 \times 24 = 144 = 12

√(6)×√(24) = √(144) = 12. Le produit

6 \times 24

6 × 24 donne un carré parfait, invisible sur les deux racines prises séparément.

Piège à éviter

a + b

√(a) + √(b) ne se regroupe pas : la règle ne concerne que la multiplication.

Questions fréquentes

Pourquoi la règle exige-t-elle des nombres positifs ?

Parce que la racine carrée n'est définie que sur les positifs. Sans cette condition,

- 4 \times - 9

√(-4)×√(-9) n'aurait aucun sens dans les réels.

La règle vaut-elle pour trois racines ou plus ?

Oui :

a \times b \times c = ab c

√(a)×√(b)×√(c) = √(abc). On regroupe autant de facteurs qu'on veut.

Comment l'utiliser pour un carré sous la racine ?

k^{2} \times a = k^{2} \times a = k a

√(k² × a) = √(k²)×√(a) = k√(a) : c'est exactement l'extraction d'un carré parfait.

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Formule : Produit de racines carrées