Quotient de racines carrées : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

On regroupe en une seule racine : $\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$ √(a)/√(b) = √(a/b). Souvent, le quotient se simplifie en un carré parfait.

Le dénominateur $b$ b doit être strictement positif.

La règle est la jumelle de celle du produit, avec la même restriction : elle vaut pour un quotient, jamais pour une somme ou une différence.

On l'utilise dans les deux sens — regrouper deux racines en une seule, ou séparer la racine d'une fraction en un quotient de racines, selon ce qui simplifie le calcul.

Exemple

\frac{18}{2} = \frac{18}{2} = 9 = 3

√(18)/√(2) = √(18/2) = √(9) = 3.

Deuxième exemple

\frac{50}{2} = 25 = 5

√(50/2) = √(25) = 5, et l'on retrouve bien

\frac{50}{2} = 5

√(50)/√(2) = 5. La forme la plus commode est celle où la fraction se réduit.

Piège à éviter

Vérifier que le dénominateur n'est pas nul, et simplifier la fraction sous la racine.

Questions fréquentes

Pourquoi le dénominateur doit-il être strictement positif ?

Parce qu'on divise par

b

√(b) : si

b

b valait

0

0, le dénominateur serait nul. Et pour

b

b négatif,

b

√(b) n'existe pas.

Comment simplifier la racine de 3 divisée par la racine de 12 ?

\frac{3}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = \frac{1}{2}

√(3)/√(12) = √(3/12) = √(1/4) = 1/2.

Peut-on laisser une racine au dénominateur ?

C'est accepté au lycée, mais on préfère souvent l'écriture sans racine en bas :

\frac{1}{2} = \frac{2}{2}

1/√(2) = √(2)/2, en multipliant haut et bas par

2

√(2).

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Formule : Quotient de racines carrées