Extraire un carré : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

On décompose le nombre sous la racine en produit d'un carré parfait et d'un autre facteur, puis on sort le carré : $k^{2} \times a = k a$ √(k² × a) = k√(a).

On cherche le plus grand carré parfait qui divise le nombre.

Simplifier une racine, c'est en donner la forme exacte la plus courte : $52$ 5√(2) plutôt que $50$ √(50), ou $7, 07$ 7,07 qui n'est qu'une approximation. Cette forme est celle attendue dans les corrigés.

Le repérage se fait par décomposition : on cherche parmi $4$ 4, $9$ 9, $16$ 16, $25$ 25, $36$ 36, $49$ 49, $64$ 64, $81$ 81, $100$ 100 le plus grand qui divise le nombre sous la racine.

Exemple

50 = 25 \times 2 = 25 \times 2 = 52

√(50) = √(25 × 2) = √(25)×√(2) = 5√(2).

Deuxième exemple

98 = 49 \times 2 = 72

√(98) = √(49 × 2) = 7√(2). Passer par

4 \times 24

√(4 × 24) donnerait

224

2√(24), qu'il faudrait encore simplifier.

Piège à éviter

Chercher le plus grand carré parfait pour finir en une étape (

50 = 25 \times 2

50 = 25 × 2).

Questions fréquentes

Comment reconnaître qu'une racine est déjà simplifiée ?

Quand aucun carré parfait autre que

1

1 ne divise le nombre sous la racine.

30

√(30) est simplifiée, car

30 = 2 \times 3 \times 5

30 = 2 × 3 × 5 n'a aucun facteur carré.

La forme simplifiée est-elle plus précise ?

Elle est exacte, alors qu'une valeur décimale est approchée.

72

7√(2) est la valeur exacte,

9, 899

9,899 n'en est qu'une approximation.

Peut-on additionner deux racines simplifiées ?

Seulement si elles ont le même radical :

32 + 52 = 82

3√(2) + 5√(2) = 8√(2), mais

2 + 3

√(2) + √(3) ne se regroupe pas.

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Formule : Extraire un carré