Image et antécédent : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

L'image de $a$ a se calcule directement : on remplace $x$ x par $a$ a dans $f (x)$ f(x).

Un antécédent de $b$ b se trouve en résolvant l'équation $f (x) = b$ f(x) = b : il peut y avoir plusieurs solutions, ou aucune.

La dissymétrie entre les deux notions est complète : une image se calcule, un antécédent se cherche. La première est toujours unique, le second peut être multiple, ou inexistant.

Sur la courbe, l'image se lit verticalement depuis l'axe des abscisses, l'antécédent horizontalement depuis l'axe des ordonnées. Les deux trajets sont inverses l'un de l'autre.

Exemple

Pour

f (x) = 2 x + 1

f(x) = 2x + 1 : image de

3

3 →

f (3) = 7

f(3) = 7 ; antécédent de

7

7 →

2 x + 1 = 7 \Rightarrow x = 3

2x + 1 = 7 ⇒ x = 3.

Deuxième exemple

Pour

f (x) = x^{2}

f(x) = x² : l'image de

- 3

-3 vaut

f (- 3) = 9

f(-3) = 9, calcul immédiat. Les antécédents de

9

9 sont les solutions de

x^{2} = 9

x² = 9, soit

- 3

-3 et

3

3 : il y en a deux.

Piège à éviter

Image = on remplace

x

x (calcul direct). Antécédent = on résout une équation. À ne pas confondre.

Questions fréquentes

Un nombre peut-il avoir deux images ?

Jamais, sinon

f

f ne serait pas une fonction. À chaque valeur de

x

x ne correspond qu'un seul résultat.

Combien un nombre peut-il avoir d'antécédents ?

Zéro, un, ou plusieurs. Pour

f (x) = x^{2}

f(x) = x², le nombre

9

9 en a deux, le nombre

0

0 un seul, et

- 1

-1 aucun.

Comment savoir lequel des deux est demandé ?

Si l'énoncé donne un

x

x et demande le résultat, c'est une image. S'il donne un résultat et demande quel

x

x le produit, c'est un antécédent.

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