Notion

Image et antécédent

Pour une fonction $f$ f, l'image d'un nombre $a$ a est le résultat $f (a)$ f(a) obtenu en appliquant la fonction : chaque nombre du domaine possède une unique image. Réciproquement, un antécédent d'un nombre $b$ b est un nombre $a$ a tel que $f (a) = b$ f(a)=b : un même nombre peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents. Par exemple, pour $f (x) = x^{2}$ f(x)=x², l'image de $3$ 3 est $9$ 9, et les antécédents de $9$ 9 sont $3$ 3 et $- 3$ -3. On calcule une image en remplaçant $x$ x par la valeur ; on cherche un antécédent en résolvant l'équation $f (x) = b$ f(x)=b. Graphiquement, l'image se lit verticalement, l'antécédent horizontalement.

Définitions

Image: L'image de $a$ a par $f$ f est le nombre $f (a)$ f(a), obtenu en remplaçant $x$ x par $a$ a dans l'expression de $f$ f. Un nombre a toujours une seule image.
Antécédent: Un antécédent de $b$ b par $f$ f est un nombre $x$ x tel que $f (x) = b$ f(x) = b. Un nombre peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.

Formules

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Image et antécédent →

image de a : f (a) ant \overset{e}{ˊ} c \overset{e}{ˊ} dent de b : f (x) = b

image de a : f(a) antécédent de b : f(x) = bCalculer une image, résoudre une équation pour un antécédent.

Méthodes

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Trouver une image et un antécédent →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Calculer une image

Niveau 1 · Application directe

Soit

f (x) = 2 x + 1

f(x) = 2x + 1. Calculer

f (3)

f(3).

Voir la correction

1.
On remplace $x$ x par $3$ 3 : $f (3) = 2 \times 3 + 1$ f(3) = 2× 3 + 1.
→ Image et antécédent
2.
$f (3) = 7$ f(3) = 7.

Réponse :

f (3) = 7

f(3) = 7.

Trouver un antécédent

Niveau 2 · Méthode complète

Soit

f (x) = 2 x + 1

f(x) = 2x + 1. Trouver le ou les antécédents de

7

Voir la correction

1.
On résout $f (x) = 7$ f(x) = 7, soit $2 x + 1 = 7$ 2x + 1 = 7.
→ Image et antécédent
2.
$2 x = 6$ 2x = 6, donc $x = 3$ x = 3.

Réponse : L'antécédent de

7

7 est

3

Faire les 10 exercices types sur image et antécédent8 autres exercices corrigés pas à pas, du plus simple au plus complet.

Questions fréquentes

Quelle différence entre image et antécédent ?

L'image, c'est ce qui sort de la fonction quand on entre un nombre (f(3) = 7). L'antécédent, c'est l'inverse : quel nombre fallait-il entrer pour obtenir 7 ? Ici, 3.

Comment calculer une image ?

On remplace x par le nombre dans l'expression de la fonction. Pour f(x) = 2x + 1, l'image de 3 est f(3) = 2×3 + 1 = 7.

Comment trouver un antécédent ?

On résout l'équation f(x) = b. Pour trouver l'antécédent de 7 avec f(x) = 2x + 1, on résout 2x + 1 = 7, ce qui donne x = 3.

Un nombre peut-il avoir plusieurs antécédents ?

Oui. Avec f(x) = x², le nombre 9 a deux antécédents : 3 et −3. Une image, en revanche, est toujours unique.

Comment calculer une image et un antécédent ?

L'image de a se calcule en remplaçant x par a dans f(x) : on obtient f(a). Un antécédent de k se trouve en résolvant l'équation f(x) = k (il peut y en avoir zéro, un ou plusieurs).

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