Notion

La fonction affine

Une fonction affine est une fonction de la forme $f (x) = m x + p$ f(x)=mx+p, où $m$ m et $p$ p sont des nombres fixés. Sa représentation graphique est une droite : $m$ m est le coefficient directeur (la pente) et $p$ p l'ordonnée à l'origine (la valeur en $0$ 0). Quand $p = 0$ p=0, on retrouve une fonction linéaire $f (x) = m x$ f(x)=mx, qui modélise une situation de proportionnalité. Une fonction affine varie à taux constant : elle est croissante si $m > 0$ m>0, décroissante si $m < 0$ m<0, constante si $m = 0$ m=0. On la détermine à partir de deux points, ou d'un point et de la pente. Les fonctions affines modélisent d'innombrables situations (tarifs, distances, coûts) et sont la base de l'étude des fonctions.

Définitions

Fonction affine: Une fonction affine est une fonction de la forme $f (x) = a x + b$ f(x) = ax + b, avec $a$ a et $b$ b réels. Sa courbe est une droite. Exemple : $f (x) = 2 x - 3$ f(x) = 2x - 3.
Coefficient directeur: C'est le nombre $a$ a : il mesure la pente de la droite, c'est-à-dire de combien $f (x)$ f(x) varie quand $x$ x augmente de $1$ 1. S'il est positif la droite monte, s'il est négatif elle descend.
Ordonnée à l'origine: C'est le nombre $b$ b : c'est la valeur de la fonction en $0$ 0, donc $b = f (0)$ b = f(0). Graphiquement, c'est l'endroit où la droite croise l'axe des ordonnées.
Fonction linéaire: C'est le cas particulier où $b = 0$ b = 0 : $f (x) = a x$ f(x) = ax. Sa droite passe par l'origine et elle traduit une situation de proportionnalité.

Formules

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Expression d'une fonction affine →

f (x) = a x + b

f(x) = ax + bLa forme générale : a est la pente, b l'ordonnée à l'origine.Coefficient directeur (par deux points) →

a = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}

a = (y_B - y_A)/(x_B - x_A)La pente se calcule à partir de deux points de la droite.Ordonnée à l'origine →

b = f (0)

b = f(0)La valeur de la fonction en 0, là où la droite coupe l'axe des ordonnées.Signe d'une fonction affine →

f (x) = 0 ⟺ x = - \frac{b}{a} (a \neq = 0)

f(x) = 0 ⇔ x = -b/a (a ≠ 0)La fonction s'annule une fois, puis change de signe.

Méthodes

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Étudier une fonction affine →

3 étapes · exemple corrigé

Déterminer une fonction affine →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Lire a, b et calculer des images

Niveau 1 · Application directe

Soit

f (x) = 2 x - 3

f(x) = 2x - 3. Donner le coefficient directeur, l'ordonnée à l'origine, le sens de variation, puis calculer

f (0)

f(0) et

f (4)

f(4).

Voir la correction

1.
On a $a = 2$ a = 2 (coefficient directeur) et $b = - 3$ b = -3 (ordonnée à l'origine).
→ Expression d'une fonction affine
2.
$a = 2 > 0$ a = 2 > 0 : la fonction est croissante.
3.
$f (0) = 2 \times 0 - 3 = - 3$ f(0) = 2× 0 - 3 = -3 et $f (4) = 2 \times 4 - 3 = 5$ f(4) = 2× 4 - 3 = 5.

Réponse :

a = 2

a = 2,

b = - 3

b = -3, croissante ;

f (0) = - 3

f(0) = -3,

f (4) = 5

f(4) = 5.

Déterminer une fonction affine

Niveau 2 · Méthode complète

Déterminer la fonction affine

f

f telle que

f (1) = 5

f(1) = 5 et

f (3) = 11

f(3) = 11.

Voir la correction

1.
Coefficient directeur : $a = \frac{11 - 5}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$ a = (11 - 5)/(3 - 1) = 6/2 = 3.
→ Coefficient directeur (par deux points)
2.
Ordonnée à l'origine : avec $f (1) = 5$ f(1) = 5, on a $3 \times 1 + b = 5$ 3× 1 + b = 5, donc $b = 2$ b = 2.
→ Ordonnée à l'origine
3.
Donc $f (x) = 3 x + 2$ f(x) = 3x + 2 (vérification : $f (3) = 11$ f(3) = 11 ✓).

Réponse :

f (x) = 3 x + 2

f(x) = 3x + 2.

Méthode utilisée : $a = \frac{f ( x _{2} ) - f ( x _{1} )}{x _{2} - x _{1}}$ a=(f(x₂)-f(x₁))/(x₂-x₁), puis on en déduit $b$ b.

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Questions fréquentes

C'est quoi une fonction affine, simplement ?

C'est une règle du type f(x) = ax + b, dont le graphique est une droite. Exemple concret : une course de taxi coûte une prise en charge fixe plus un prix par kilomètre. Le prix total en fonction de la distance est une fonction affine.

Quelle différence entre fonction affine et fonction linéaire ?

Une fonction linéaire (f(x) = ax) part de 0 : c'est de la proportionnalité, comme le prix de x kg de pommes. Une fonction affine (f(x) = ax + b) ajoute un montant de départ b : comme le taxi, qui facture déjà quelque chose avant le premier kilomètre.

Que représente le coefficient directeur a ?

C'est la pente : de combien y augmente quand x augmente de 1. Pour le taxi, c'est le prix d'un kilomètre supplémentaire. S'il est positif la droite monte, s'il est négatif elle descend.

Que représente b, l'ordonnée à l'origine ?

C'est la valeur de départ, quand x = 0. Pour le taxi, c'est la prise en charge payée avant même de rouler. Sur le graphique, c'est l'endroit où la droite croise l'axe vertical.

Comment savoir si une fonction affine monte ou descend ?

On regarde seulement le signe de a. Si a > 0, la droite monte (fonction croissante) ; si a < 0, elle descend (décroissante) ; si a = 0, elle reste plate (fonction constante). La valeur de b ne change rien au sens de variation.

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