La fonction carré — exercices types corrigés

1. 1.
   $f(-4)=(-4{)}^2=16$f(-4) = (-4)² = 16, $f(0)=0$f(0) = 0, $f(5)=5^2=25$f(5) = 5² = 25.

   → Expression et variations
2. 2.
   $f$f est décroissante sur $]-\infty ;0]$]-∞ ;0] et croissante sur $[0;+\infty [$[0 ;+∞[, avec un minimum égal à $0$0 en $x=0$x = 0.

1. 1.
   $x^2=49$x² = 49 : $49>0$49 > 0, donc $x=7$x = 7 ou $x=-7$x = -7.

   → Résoudre x² = k
2. 2.
   $x^2=7$x² = 7 : $7>0$7 > 0, donc $x=\sqrt{7}$x = √(7) ou $x=-\sqrt{7}$x = -√(7).
3. 3.
   $x^2=-1$x² = -1 : $-1<0$-1 < 0, donc aucune solution réelle.

Méthode utilisée : $x^2=k$x²=k : deux solutions $\pm \sqrt{k}$±√(k) si $k>0$k>0, aucune si $k<0$k<0.

Erreur fréquente : Oublier la solution négative (ou chercher une solution pour $k<0$k<0).

1. 1.
   Pour tout $x$x, $f(-x)=(-x{)}^2=x^2=f(x)$f(-x) = (-x)² = x² = f(x) : la fonction est donc paire.

   → Parité
2. 2.
   Par parité, $f(-6)=f(6)=36$f(-6) = f(6) = 36.
3. 3.
   Graphiquement, les points $(6;36)$(6 ;36) et $(-6;36)$(-6 ;36) sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

1. 1.
   Sur $[0;+\infty [$[0 ;+∞[, la fonction carré est croissante : elle conserve l'ordre des nombres positifs.

   → Carré et ordre
2. 2.
   Comme $1\le x\le 4$1 ≤ x ≤ 4 (valeurs positives), on élève au carré dans le même sens : $1^2\le x^2\le 4^2$1² ≤ x² ≤ 4².
3. 3.
   Donc $1\le x^2\le 16$1 ≤ x² ≤ 16.

1. 1.
   $f(-2)=(-2{)}^2=4$f(-2) = (-2)² = 4, $f(3)=9$f(3) = 9, $f(0,5)=0,25$f(0,5) = 0,25.

   → Expression et variations

1. 1.
   $16>0$16 > 0 : deux solutions opposées.

   → Résoudre x² = k
2. 2.
   $x=4$x = 4 ou $x=-4$x = -4.

1. 1.
   Un carré est toujours positif ou nul.

   → Résoudre x² = k
2. 2.
   $x^2=-9$x² = -9 n'a aucune solution réelle.

1. 1.
   $(-3{)}^2=9$(-3)² = 9 et $(-2{)}^2=4$(-2)² = 4.

   → Carré et ordre
2. 2.
   Bien que $-3<-2$-3 < -2, on a $9>4$9 > 4 : sur les négatifs, le carré inverse l'ordre.

Erreur fréquente : Croire que $(-3{)}^2<(-2{)}^2$(-3)²<(-2)² car $-3<-2$-3<-2 : le carré renverse l'ordre des négatifs.

1. 1.
   Sur les négatifs, la fonction carré est décroissante (elle inverse l'ordre).

   → Carré et ordre
2. 2.
   Pour $x=-3$x = -3 : $x^2=9$x² = 9 ; pour $x=-1$x = -1 : $x^2=1$x² = 1.
3. 3.
   Donc $1\le x^2\le 9$1 ≤ x² ≤ 9.

Erreur fréquente : Garder l'ordre des bornes : sur les négatifs, le carré inverse l'encadrement.

1. 1.
   On résout $x^2=49$x² = 49 avec $x>0$x > 0 (une longueur est positive).

   → Résoudre x² = k
2. 2.
   $x=7$x = 7 cm (on écarte $-7$-7, négatif).