Notion

La fonction inverse

La fonction inverse est la fonction définie sur $R^{*}$ ℝ^(*) (tous les réels sauf $0$ 0) par $f (x) = \frac{1}{x}$ f(x)=1/x. Elle n'est pas définie en $0$ 0, où elle admet une asymptote verticale, et sa courbe, appelée hyperbole, comporte deux branches. La fonction inverse est impaire : $\frac{1}{- x} = - \frac{1}{x}$ 1/(-x)=-1/x, donc sa courbe est symétrique par rapport à l'origine. Elle est strictement décroissante sur $] - \infty; 0 [$ ]-∞ ;0[ et sur $] 0; + \infty [$ ]0 ;+∞[, mais pas sur $R^{*}$ ℝ^(*) tout entier. Elle modélise la proportionnalité inverse (plus une grandeur augmente, plus l'autre diminue) et sert à résoudre des équations et inéquations du type $\frac{1}{x} = k$ 1/x=k.

Définitions

Fonction inverse: C'est la fonction définie sur $R ∖ {0}$ ℝ\{0} par $f (x) = \frac{1}{x}$ f(x) = 1/x. La valeur $0$ 0 est interdite (on ne divise pas par $0$ 0).
Hyperbole: C'est la courbe de la fonction inverse : deux branches symétriques par rapport à l'origine, qui se rapprochent des axes sans les toucher.
Fonction impaire: La fonction inverse est impaire : $f (- x) = - f (x)$ f(-x) = -f(x). Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.

Formules

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Inverse : définition et variations →

f (x) = \frac{1}{x} (x \neq = 0)

f(x) = 1/x (x ≠ 0)Décroissante sur chaque intervalle, jamais nulle.Parité de l'inverse →

f (- x) = \frac{1}{- x} = - \frac{1}{x} = - f (x)

f(-x) = 1/(-x) = -1/x = -f(x)La fonction inverse est impaire.

Méthodes

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Étudier la fonction inverse →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Image de 2

Niveau 1 · Application directe

Calculer

f (2)

f(2) pour

f (x) = \frac{1}{x}

f(x) = 1/x.

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1.
$f (2) = \frac{1}{2}$ f(2) = 1/2.
→ Inverse : définition et variations

Réponse :

\frac{1}{2}

1/2.

Image négative

Niveau 1 · Application directe

Calculer

f (- 4)

f(-4).

Voir la correction

1.
$f (- 4) = - \frac{1}{4}$ f(-4) = -1/4.
→ Inverse : définition et variations

Réponse :

- \frac{1}{4}

-1/4.

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Questions fréquentes

C'est quoi la fonction inverse ?

C'est la fonction f(x) = 1/x : elle associe à un nombre son inverse. Par exemple l'inverse de 2 est 1/2, celui de 1/3 est 3.

Pourquoi 0 est interdit ?

Parce qu'on ne peut pas diviser par 0 : 1/0 n'existe pas. La fonction est définie pour tous les nombres sauf 0.

La fonction inverse est-elle décroissante partout ?

Non : elle décroît sur les négatifs et sur les positifs séparément, mais pas « d'un bloc » sur ℝ à cause de la coupure en 0.

À quoi sert la fonction inverse ?

À modéliser les situations de proportionnalité inverse : plus on partage entre de personnes, moins chacun reçoit ; plus la vitesse est grande, moins le temps de trajet est long.

Quelle est la dérivée de la fonction inverse ?

La dérivée de 1/x est −1/x². Elle est toujours négative, ce qui confirme que la fonction inverse est décroissante sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[.

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