Le signe d'une fonction — exercices types corrigés

1. 1.
   On cherche le zéro : $-3x+6=0\Rightarrow x=2$-3x + 6 = 0 ⇒ x = 2.

   → Une fonction ne change de signe qu'en ses zéros
2. 2.
   Le coefficient est $a=-3<0$a = -3 < 0 : la fonction est positive avant le zéro, négative après.
3. 3.
   Donc $f(x)>0$f(x) > 0 sur $]-\infty ;2[$]-∞ ;2[, $f(x)<0$f(x) < 0 sur $]2;+\infty [$]2 ;+∞[, nul en $2$2.

1. 1.
   Zéros : $x=2$x = 2 et $x=-1$x = -1.

   → Une fonction ne change de signe qu'en ses zéros
2. 2.
   $2x-4$2x - 4 : négatif avant $2$2, positif après. $x+1$x + 1 : négatif avant $-1$-1, positif après.
3. 3.
   Règle des signes : $+$+ sur $]-\infty ;-1[$]-∞ ;-1[, $-$- sur $]-1;2[$]-1 ;2[, $+$+ sur $]2;+\infty [$]2 ;+∞[.

   → Règle des signes (produit et quotient)

Méthode utilisée : Tableau de signes : on étudie le signe de chaque facteur, puis le produit.

Erreur fréquente : Faire le produit des valeurs au lieu du produit des signes.

1. 1.
   Valeur interdite : $x+2=0\Rightarrow x=-2$x + 2 = 0 ⇒ x = -2. Zéro : $x-3=0\Rightarrow x=3$x - 3 = 0 ⇒ x = 3.

   → Une fonction ne change de signe qu'en ses zéros
2. 2.
   $x-3$x - 3 : négatif avant $3$3, positif après. $x+2$x + 2 : négatif avant $-2$-2, positif après.
3. 3.
   Règle des signes du quotient : $+$+ sur $]-\infty ;-2[$]-∞ ;-2[, $-$- sur $]-2;3[$]-2 ;3[, $+$+ sur $]3;+\infty [$]3 ;+∞[.

   → Règle des signes (produit et quotient)

Méthode utilisée : Tableau de signes en tenant compte de la valeur interdite $x=-2$x=-2.

Erreur fréquente : Inclure la valeur interdite $-2$-2 dans l'ensemble solution.

1. 1.
   On reprend le tableau de signes de $(2x-4)(x+1)$(2x - 4)(x + 1) : $+$+ sur $]-\infty ;-1[$]-∞ ;-1[, $-$- sur $]-1;2[$]-1 ;2[, $+$+ sur $]2;+\infty [$]2 ;+∞[.

   → Règle des signes (produit et quotient)
2. 2.
   On cherche où le produit est positif ou nul : à l'extérieur des racines, racines comprises.
3. 3.
   Donc $S=]-\infty ;-1]\cup [2;+\infty [$S = ]-∞ ;-1] ∪ [2 ;+∞[ (on inclut $-1$-1 et $2$2 car l'inégalité est large).

1. 1.
   Zéro : $2x-6=0⟺x=3$2x - 6 = 0 ⇔ x = 3.

   → Une fonction ne change de signe qu'en ses zéros
2. 2.
   $a=2>0$a = 2 > 0 : négatif avant $3$3, positif après.

1. 1.
   Zéro : $-x+4=0⟺x=4$-x + 4 = 0 ⇔ x = 4.

   → Une fonction ne change de signe qu'en ses zéros
2. 2.
   $a=-1<0$a = -1 < 0 : positif avant $4$4, négatif après.

1. 1.
   Zéros : $1$1 et $-2$-2. $x-1$x - 1 : $-$- avant $1$1, $+$+ après ; $x+2$x + 2 : $-$- avant $-2$-2, $+$+ après.

   → Règle des signes (produit et quotient)
2. 2.
   Produit : $+$+ sur $]-\infty ;-2[$]-∞ ;-2[, $-$- sur $]-2;1[$]-2 ;1[, $+$+ sur $]1;+\infty [$]1 ;+∞[.

1. 1.
   Zéros : $0$0 et $3$3.

   → Règle des signes (produit et quotient)
2. 2.
   Produit : $+$+ sur $]-\infty ;0[$]-∞ ;0[, $-$- sur $]0;3[$]0 ;3[, $+$+ sur $]3;+\infty [$]3 ;+∞[.

1. 1.
   Zéro : $x=-3$x = -3. Valeur interdite : $x=2$x = 2.

   → Une fonction ne change de signe qu'en ses zéros
2. 2.
   Règle des signes du quotient : $+$+ sur $]-\infty ;-3[$]-∞ ;-3[, $-$- sur $]-3;2[$]-3 ;2[, $+$+ sur $]2;+\infty [$]2 ;+∞[.

   → Règle des signes (produit et quotient)

1. 1.
   Le produit est négatif entre les racines $-2$-2 et $1$1.

   → Règle des signes (produit et quotient)
2. 2.
   $S=]-2;1[$S = ]-2 ;1[ (bornes exclues car inégalité stricte).