Notion

Appartenance d'un point à une courbe

Un point $A (x_{A}; y_{A})$ A(x_A ;y_A) appartient à la courbe d'une fonction $f$ f si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation $y = f (x)$ y=f(x), c'est-à-dire si $y_{A} = f (x_{A})$ y_A=f(x_A). Pour le tester, on remplace $x$ x par $x_{A}$ x_A dans l'expression de $f$ f, on calcule $f (x_{A})$ f(x_A), puis on compare le résultat à $y_{A}$ y_A : s'ils sont égaux, le point est sur la courbe ; sinon, il ne l'est pas. Cette vérification sert à contrôler un tracé, à déterminer un paramètre inconnu pour qu'un point soit sur la courbe, ou à trouver l'ordonnée d'un point d'abscisse donnée. C'est le même principe pour l'appartenance d'un point à une droite d'équation $y = m x + p$ y=mx+p.

Définitions

Appartenance à une courbe: Le point $A (x_{A}; y_{A})$ A(x_A ;y_A) appartient à $C_{f}$ C _f si et seulement si $f (x_{A}) = y_{A}$ f(x_A) = y_A : l'ordonnée du point est l'image de son abscisse.
Test d'appartenance: On calcule $f (x_{A})$ f(x_A) et on compare à $y_{A}$ y_A. Si $y_{A} = f (x_{A})$ y_A=f(x_A), le point appartient à la courbe ; sinon, non.

Formules

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Critère d'appartenance →

A (x_{A}; y_{A}) \in C_{f} ⟺ f (x_{A}) = y_{A}

A(x_A ;y_A) ∈ C _f ⇔ f(x_A) = y_AOn teste si l'image de l'abscisse vaut l'ordonnée.

Méthodes

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Vérifier l'appartenance d'un point à une courbe →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Le point est sur la courbe

Niveau 1 · Application directe

Le point

A (2; 5)

A(2 ;5) appartient-il à

C_{f}

C _f avec

f (x) = 2 x + 1

f(x) = 2x + 1 ?

Voir la correction

1.
$f (2) = 2 \times 2 + 1 = 5$ f(2) = 2× 2 + 1 = 5.
→ Critère d'appartenance
2.
$5 = y_{A}$ 5 = y_A : le point appartient à la courbe.

Réponse : Oui.

Le point n'est pas sur la courbe

Niveau 1 · Application directe

Le point

B (1; 4)

B(1 ;4) appartient-il à

C_{f}

C _f avec

f (x) = 2 x + 1

f(x) = 2x + 1 ?

Voir la correction

1.
$f (1) = 2 \times 1 + 1 = 3$ f(1) = 2× 1 + 1 = 3.
→ Critère d'appartenance
2.
$3 \neq = 4$ 3 ≠ 4 : le point n'appartient pas à la courbe.

Réponse : Non (

f (1) = 3 \neq = 4

f(1) = 3 ≠ 4).

Erreur fréquente : Conclure sans vérifier l'égalité $b = f (a)$ b=f(a).

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Questions fréquentes

Comment savoir si un point est sur une courbe ?

On calcule l'image de son abscisse et on regarde si on retombe sur son ordonnée. Si oui, le point est sur la courbe ; sinon, non.

Que faire concrètement ?

On remplace x par l'abscisse du point dans f(x). Si le résultat est égal à l'ordonnée du point, c'est gagné. Exemple : A(2 ; 5) avec f(x) = 2x + 1 → f(2) = 5 = 5 → A est sur la courbe.

Et si l'égalité est fausse ?

Le point n'appartient pas à la courbe. Une seule vérification fausse suffit pour conclure.

Quelle est la condition pour qu'un point soit sur la courbe ?

Le point M(a ; b) appartient à la courbe de f si et seulement si b = f(a).

Comment trouver un point manquant sur une courbe ?

Si on connaît son abscisse a, on calcule f(a) pour l'ordonnée. Si on connaît son ordonnée b, on résout f(x) = b pour trouver l'abscisse.

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