La fonction carré est la fonction définie sur ℝ par f(x)=x². Elle est paire, car (-x)²=x², donc sa courbe — appelée parabole — est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Elle est strictement décroissante sur ]-∞ ;0] puis strictement croissante sur [0 ;+∞[, avec un minimum 0 atteint en x=0 (le sommet de la parabole). Ses valeurs sont toujours positives ou nulles. La fonction carré sert à calculer des aires, à résoudre des équations x²=k, à comparer des nombres et introduit la notion de racine carrée (opération inverse sur les positifs). Elle prépare l'étude des fonctions polynômes du second degré.
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Méthode utilisée : x²=k : deux solutions ±√(k) si k>0, aucune si k<0.
Erreur fréquente : Oublier la solution négative (ou chercher une solution pour k<0).
C'est la fonction qui transforme un nombre en son carré : f(x) = x². Exemple concret : l'aire d'un carré de côté x vaut x². Si tu doubles le côté, l'aire est multipliée par 4 — c'est tout l'effet du carré.
Parce qu'un nombre et son opposé ont le même carré : (−3)² = 3² = 9. Du coup la partie gauche de la courbe est le reflet exact de la partie droite, par rapport à l'axe vertical. On dit que la fonction est paire.
Parce qu'un carré, c'est un nombre multiplié par lui-même : deux nombres de même signe, dont le produit est forcément positif (ou nul). Image : une aire ne peut pas être négative. Le plus petit carré possible est 0, atteint pour x = 0.
Ça dépend de k : si k > 0, deux solutions opposées (√k et −√k) ; si k = 0, une seule (0) ; si k < 0, aucune. Image : on regarde où la courbe en U croise la ligne horizontale de hauteur k — 2 points, 1 point, ou aucun.
Pas partout. Elle descend d'abord pour les x négatifs, atteint son minimum 0 en x = 0, puis remonte pour les x positifs. Du coup 2 < 3 donne bien 4 < 9, mais attention : −3 < −2 donne 9 > 4 (l'ordre s'inverse sur les négatifs).
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Des généralités aux fonctions de référence : image, antécédent, variations, courbes et fonctions usuelles.
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Fonction carré et fonction inverse — Seconde →