Notion

Le signe d'une fonction

Q: Ça veut dire quoi, le signe d'une fonction ?

C'est savoir quand la fonction donne un résultat positif, négatif ou nul. Image : si f(x) est l'altitude par rapport au niveau de la mer, le signe dit quand tu es au-dessus de l'eau (positif), sous l'eau (négatif), ou pile au niveau (nul).

Q: Comment trouver le signe d'un produit ?

Avec la règle des signes, comme à la multiplication : deux termes de même signe donnent un résultat positif, deux termes de signes contraires un résultat négatif. On étudie chaque facteur séparément, puis on combine.

Q: C'est quoi une valeur interdite ?

Pour une fraction, c'est la valeur qui annulerait le dénominateur — or on ne peut pas diviser par 0. La fonction n'existe pas à cet endroit : on la barre dans le tableau. Exemple : dans (x−3)/(x+2), la valeur −2 est interdite.

Q: Pourquoi une fonction change-t-elle de signe seulement en ses zéros ?

Parce que pour passer du positif au négatif, une courbe continue doit forcément traverser l'axe, donc valoir 0 à ce moment-là. C'est pour ça qu'on commence toujours par chercher les zéros : ce sont les seuls endroits où le signe peut basculer.

Q: À quoi sert l'étude du signe ?

Surtout à résoudre les inéquations (du type f(x) ≥ 0) et à savoir où une courbe est au-dessus ou en dessous d'une autre. C'est un outil qu'on réutilise tout le temps en analyse.

Étudier le signe d'une fonction $f$ f, c'est déterminer sur quels intervalles elle est positive ( $f (x) > 0$ f(x)>0), négative ( $f (x) < 0$ f(x)<0) ou nulle ( $f (x) = 0$ f(x)=0). Les valeurs où la fonction s'annule séparent ces intervalles ; graphiquement, le signe se lit selon que la courbe est au-dessus (positif) ou en dessous (négatif) de l'axe des abscisses. On résume l'étude dans un tableau de signes. Pour une expression factorisée, on étudie le signe de chaque facteur puis on combine avec la règle des signes d'un produit ou d'un quotient. L'étude du signe est essentielle pour résoudre des inéquations, déterminer les variations (via le signe de la dérivée) et positionner une courbe.

Définitions

Signe d'une fonction: Le signe de $f$ f en $x$ x indique si $f (x)$ f(x) est positif ( $f (x) > 0$ f(x) > 0), négatif ( $f (x) < 0$ f(x) < 0) ou nul ( $f (x) = 0$ f(x) = 0). Graphiquement : la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses quand $f > 0$ f > 0, en dessous quand $f < 0$ f < 0.
Tableau de signes: C'est un tableau qui donne le signe de $f (x)$ f(x) sur chaque intervalle, séparé par les valeurs où $f$ f s'annule (ses racines) ou n'est pas définie.
Valeur interdite: Pour un quotient, c'est une valeur de $x$ x qui annule le dénominateur : la fonction n'y est pas définie. On la marque par une double barre dans le tableau de signes.

Formules

Les formules à connaître. Clique sur une formule pour la fiche détaillée.

Principe du tableau de signes →

f (x) > 0, f (x) = 0, f (x) < 0

f(x) > 0, f(x) = 0, f(x) < 0Le signe se lit sur un tableau, à partir des zéros et de la règle des signes.Règle des signes (produit et quotient) →

(+) (+) = +, (-) (-) = +, (+) (-) = -

(+)(+) = +, (-)(-) = +, (+)(-) = -Un produit (ou un quotient) est positif si les deux termes ont le même signe.Une fonction ne change de signe qu'en ses zéros →

f continue : changement de signe \Rightarrow f s’annule

f continue : changement de signe ⇒ f s'annulePour changer de signe, une fonction continue doit passer par 0.

Méthodes

Les démarches pas à pas. Clique pour la méthode complète avec exemple résolu.

Étudier le signe d'une fonction →

4 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

Cherche d'abord, puis clique sur « Voir la correction ». La série complète est sur la page d'exercices.

Signe d'une fonction affine

Niveau 1 · Application directe

Étudier le signe de

f (x) = - 3 x + 6

f(x) = -3x + 6.

Voir la correction

1.
On cherche le zéro : $- 3 x + 6 = 0 \Rightarrow x = 2$ -3x + 6 = 0 ⇒ x = 2.
→ Une fonction ne change de signe qu'en ses zéros
2.
Le coefficient est $a = - 3 < 0$ a = -3 < 0 : la fonction est positive avant le zéro, négative après.
3.
Donc $f (x) > 0$ f(x) > 0 sur $] - \infty; 2 [$ ]-∞ ;2[, $f (x) < 0$ f(x) < 0 sur $] 2; + \infty [$ ]2 ;+∞[, nul en $2$ 2.

Réponse : Positif sur

] - \infty; 2 [

]-∞ ;2[, négatif sur

] 2; + \infty [

]2 ;+∞[, nul en

2

Signe d'un produit

Niveau 2 · Méthode complète

Dresser le tableau de signes de

f (x) = (2 x - 4) (x + 1)

f(x) = (2x - 4)(x + 1).

Voir la correction

1.
Zéros : $x = 2$ x = 2 et $x = - 1$ x = -1.
→ Une fonction ne change de signe qu'en ses zéros
2.
$2 x - 4$ 2x - 4 : négatif avant $2$ 2, positif après. $x + 1$ x + 1 : négatif avant $- 1$ -1, positif après.
3.
Règle des signes : $+$ + sur $] - \infty; - 1 [$ ]-∞ ;-1[, $-$ - sur $] - 1; 2 [$ ]-1 ;2[, $+$ + sur $] 2; + \infty [$ ]2 ;+∞[.
→ Règle des signes (produit et quotient)

Réponse :

f > 0

f > 0 sur

] - \infty; - 1 [\cup] 2; + \infty [

]-∞ ;-1[∪]2 ;+∞[,

f < 0

f < 0 sur

] - 1; 2 [

]-1 ;2[.

Méthode utilisée : Tableau de signes : on étudie le signe de chaque facteur, puis le produit.

Erreur fréquente : Faire le produit des valeurs au lieu du produit des signes.

Faire les 10 exercices types sur signe d'une fonction8 autres exercices corrigés pas à pas, du plus simple au plus complet.

Questions fréquentes

Ça veut dire quoi, le signe d'une fonction ?

C'est savoir quand la fonction donne un résultat positif, négatif ou nul. Image : si f(x) est l'altitude par rapport au niveau de la mer, le signe dit quand tu es au-dessus de l'eau (positif), sous l'eau (négatif), ou pile au niveau (nul).

Comment trouver le signe d'un produit ?

Avec la règle des signes, comme à la multiplication : deux termes de même signe donnent un résultat positif, deux termes de signes contraires un résultat négatif. On étudie chaque facteur séparément, puis on combine.

C'est quoi une valeur interdite ?

Pour une fraction, c'est la valeur qui annulerait le dénominateur — or on ne peut pas diviser par 0. La fonction n'existe pas à cet endroit : on la barre dans le tableau. Exemple : dans (x−3)/(x+2), la valeur −2 est interdite.

Pourquoi une fonction change-t-elle de signe seulement en ses zéros ?

Parce que pour passer du positif au négatif, une courbe continue doit forcément traverser l'axe, donc valoir 0 à ce moment-là. C'est pour ça qu'on commence toujours par chercher les zéros : ce sont les seuls endroits où le signe peut basculer.

À quoi sert l'étude du signe ?

Surtout à résoudre les inéquations (du type f(x) ≥ 0) et à savoir où une courbe est au-dessus ou en dessous d'une autre. C'est un outil qu'on réutilise tout le temps en analyse.

Notions liées

Pour aller plus loin, explore les notions du même thème.

Tout sur fonctions en seconde

Des généralités aux fonctions de référence : image, antécédent, variations, courbes et fonctions usuelles.