Solutions de f(x) > k : la formule et un exemple

Q: Les solutions sont-elles des points ou des intervalles ?

Des intervalles de valeurs de x. Les points d'intersection n'en donnent que les bornes.

Q: Comment choisir le type de crochet ?

Ouvert pour une inégalité stricte, fermé pour une inégalité large : f(x) ≤ 4 donnerait [-2 ;2].

Q: Que faire si les solutions sont en deux morceaux ?

On écrit une réunion d'intervalles : f(x) > 4 pour la parabole donne ]-∞ ;-2[ ∪ ]2 ;+∞[.

Ce que dit la formule

On repère d'abord les abscisses où la courbe croise $y = k$ y = k (les « frontières »), puis on regarde où la courbe est au-dessus (pour $>$ >) ou en dessous (pour $<$ <).

Les solutions forment en général un ou plusieurs intervalles.

On commence toujours par résoudre l'équation associée $f (x) = k$ f(x) = k : ses solutions sont les abscisses où la courbe traverse la droite, donc les bornes des intervalles solutions.

Ensuite seulement on regarde la position : au-dessus de la droite pour $f (x) > k$ f(x) > k, en dessous pour $f (x) < k$ f(x) < k. Le sens de l'inégalité se lit verticalement.

Exemple

Si la courbe est au-dessus de

y = 0

y = 0 pour

x > 2

x > 2, alors

f (x) > 0

f(x) > 0 sur

] 2; + \infty [

]2 ;+∞[.

Deuxième exemple

Pour

f (x) = x^{2}

f(x) = x², l'inéquation

f (x) < 4

f(x) < 4 a pour solutions les abscisses où la parabole passe sous la droite

y = 4

y = 4, c'est-à-dire l'intervalle

] - 2; 2 [

]-2 ;2[.

Piège à éviter

Les solutions sont des intervalles de

x

x (pas des valeurs isolées) ; bien repérer les bornes.

Questions fréquentes

Les solutions sont-elles des points ou des intervalles ?

Des intervalles de valeurs de

x

x. Les points d'intersection n'en donnent que les bornes.

Comment choisir le type de crochet ?

Ouvert pour une inégalité stricte, fermé pour une inégalité large :

f (x) \leq 4

f(x) ≤ 4 donnerait

[- 2; 2]

[-2 ;2].

Que faire si les solutions sont en deux morceaux ?

On écrit une réunion d'intervalles :

f (x) > 4

f(x) > 4 pour la parabole donne

] - \infty; - 2 [\cup] 2; + \infty [

]-∞ ;-2[ ∪ ]2 ;+∞[.

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Formule : Solutions de f(x) > k