Solutions de f(x) = k : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

On trace la droite horizontale $y = k$ y = k, on repère ses points d'intersection avec la courbe, puis on lit leurs abscisses : ce sont les solutions de l'équation.

Le nombre de solutions est le nombre de points d'intersection.

Résoudre graphiquement $f (x) = k$ f(x) = k revient à chercher les abscisses des points où la courbe atteint la hauteur $k$ k. On trace donc l'horizontale $y = k$ y = k et on lit les abscisses des intersections.

Le nombre de solutions se lit d'un coup d'œil : c'est le nombre de points d'intersection. Aucun point, aucune solution.

Exemple

y = 3

y = 3 coupe la courbe au seul point d'abscisse

1

1, alors

f (x) = 3

f(x) = 3 a pour solution

x = 1

x = 1.

Deuxième exemple

Pour la parabole de

f (x) = x^{2}

f(x) = x² : l'équation

f (x) = 4

f(x) = 4 a deux solutions,

- 2

-2 et

2

2 ;

f (x) = 0

f(x) = 0 n'en a qu'une,

0

0 ;

f (x) = - 1

f(x) = -1 n'en a aucune.

Piège à éviter

On lit des abscisses (les solutions sont des valeurs de

x

x), pas des ordonnées.

Questions fréquentes

Pourquoi lit-on des abscisses et non des ordonnées ?

Parce que les solutions de l'équation sont les valeurs de

x

x qui conviennent. L'ordonnée, elle, vaut

k

k pour tous les points concernés.

La lecture graphique constitue-t-elle une preuve ?

Elle donne des valeurs approchées et le nombre de solutions, mais un énoncé qui demande des valeurs exactes attend une résolution algébrique.

Que faire si la courbe est tangente à la droite ?

Il y a alors une solution unique : l'abscisse du point de contact.

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Formule : Solutions de f(x) = k