Comment déterminer une fonction affine ? Méthode et exemples

Les étapes

1
Calculer le coefficient directeur a
On utilise $a = \frac{y _{B} - y _{A}}{x _{B} - x _{A}}$ a = (y_B - y_A)/(x_B - x_A) avec les deux points connus.
2
Calculer l'ordonnée à l'origine b
On remplace $x$ x et $f (x)$ f(x) par les valeurs d'un des points dans $f (x) = a x + b$ f(x) = ax + b, puis on isole $b$ b.
3
Écrire f(x)
On conclut avec $f (x) = a x + b$ f(x) = ax + b, et on peut vérifier sur l'autre point.

Déterminer la fonction affine telle que $f (1) = 5$ f(1) = 5 et $f (3) = 11$ f(3) = 11.

1. $a = \frac{11 - 5}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$ a = (11 - 5)/(3 - 1) = 6/2 = 3.
2.Avec $f (1) = 5$ f(1) = 5 : $3 \times 1 + b = 5$ 3× 1 + b = 5, donc $b = 2$ b = 2.
3. $f (x) = 3 x + 2$ f(x) = 3x + 2. Vérification : $f (3) = 3 \times 3 + 2 = 11$ f(3) = 3× 3 + 2 = 11 ✓.

Résultat :

f (x) = 3 x + 2

f(x) = 3x + 2.

Déterminer la fonction affine telle que $f (- 2) = 7$ f(-2) = 7 et $f (4) = - 5$ f(4) = -5.

1. $a = \frac{- 5 - 7}{4 - ( - 2 )} = \frac{- 12}{6} = - 2$ a = (-5 - 7)/(4 - (-2)) = (-12)/6 = -2.
2.Avec $f (- 2) = 7$ f(-2) = 7 : $- 2 \times (- 2) + b = 7$ -2×(-2) + b = 7, donc $4 + b = 7$ 4 + b = 7 et $b = 3$ b = 3.
3.Vérification avec l'autre point : $- 2 \times 4 + 3 = - 5$ -2× 4 + 3 = -5 ✓.

Résultat :

f (x) = - 2 x + 3

f(x) = -2x + 3.

Vérifier le résultat sur le second point évite les erreurs de calcul de

b

Peut-on utiliser n'importe lequel des deux points pour trouver b ?

Oui, le résultat est identique. On garde l'autre pour la vérification finale.

Que faire si les deux points ont la même image ?

Le coefficient directeur est nul et la fonction est constante :

f (x) = b

f(x) = b.

Deux points suffisent-ils toujours ?

Oui, à condition qu'ils aient des abscisses différentes. Sinon aucune fonction affine ne passe par les deux.

Des généralités aux fonctions de référence : image, antécédent, variations, courbes et fonctions usuelles.