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Méthode · Seconde

Étudier une fonction affine

Étudier une fonction affine f(x) = ax + b tient en trois questions simples, car tout se lit sur les deux coefficients. On identifie d'abord a et b avec leurs signes. Le sens de variation se déduit du seul signe de a : croissante si a > 0, décroissante si a < 0, constante si a = 0 — b n'y joue aucun rôle. Pour la représentation, deux points suffisent, puisque la courbe est une droite : on prend (0 ;b) et un second point calculé.

Les étapes

  1. 1

    Identifier a et b

    On repère le coefficient directeur a et l'ordonnée à l'origine b, avec leurs signes.
  2. 2

    Donner le sens de variation

    Si a > 0, f est croissante ; si a < 0, f est décroissante ; si a = 0, f est constante.
  3. 3

    Tracer la droite

    Il suffit de deux points : par exemple (0 ;b) et un second point obtenu en calculant une image, puis on relie.

Exemple corrigé

Étudier la fonction f(x) = 2x - 3.

  1. 1.On lit a = 2 et b = -3.
  2. 2.a = 2 > 0 : la fonction est croissante sur ℝ.
  3. 3.Deux points : f(0) = -3 et f(3) = 2× 3 - 3 = 3, soit (0 ;-3) et (3 ;3).
Résultat : f est affine, croissante, de droite passant par (0 ;-3) et (3 ;3).

Deuxième exemple

Étudier la fonction f(x) = -0,5x + 4.

  1. 1.On lit a = -0,5 et b = 4.
  2. 2.a < 0 : la fonction est décroissante sur ℝ.
  3. 3.Deux points : f(0) = 4 et f(8) = -4 + 4 = 0, soit (0 ;4) et (8 ;0).
Résultat : Fonction affine décroissante, de droite passant par (0 ;4) et (8 ;0).

Piège à éviter

Le sens de variation ne dépend que de a, jamais de b. Une grande valeur de b ne rend pas la fonction « plus croissante ».

Questions fréquentes

Le coefficient b influence-t-il le sens de variation ?
Jamais. Il ne fait que déplacer la droite verticalement : seul le signe de a décide de la croissance.
Combien de points faut-il pour tracer la droite ?
Deux suffisent, mais un troisième sert de vérification : s'il n'est pas aligné, il y a une erreur de calcul.
Comment choisir le second point ?
On prend une valeur de x qui donne un calcul simple, idéalement celle qui annule la fonction pour obtenir l'intersection avec l'axe des abscisses.

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