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Méthode · Seconde

Extraire un carré parfait

Extraire un carré parfait, c'est sortir de la racine tout facteur qui est un carré, pour raccourcir l'écriture sans changer la valeur. Le nombre sous la racine se décompose en un produit k² × a, et le k sort en dehors. Le choix du carré compte : en prendre un trop petit oblige à recommencer. Le réflexe est donc de balayer la liste des carrés parfaits en descendant, jusqu'à trouver le plus grand qui divise le nombre.

Les étapes

  1. 1

    Lister les carrés parfaits

    4, 9, 16, 25, 36, 49…
  2. 2

    Repérer un facteur

    On trouve le plus grand carré parfait qui divise le nombre.
  3. 3

    Sortir le facteur

    √(k² × a) = k√(a).

Exemple corrigé

Extraire le carré parfait de √(72).

  1. 1.72 = 36 × 2, et 36 = 6².
  2. 2.√(72) = √(36)×√(2).
  3. 3.= 6√(2).
Résultat : √(72) = 6√(2).

Deuxième exemple

Extraire le carré parfait de √(200).

  1. 1.On teste les carrés en descendant : 100 divise 200, car 200 = 100 × 2.
  2. 2.√(200) = √(100)×√(2).
  3. 3.= 10√(2).
Résultat : 10√(2).

Piège à éviter

Si on prend un petit carré (4), on devra simplifier encore : autant prendre le plus grand directement.

Questions fréquentes

Quels carrés parfaits faut-il connaître ?
Au minimum jusqu'à 144 : 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144. Ce sont eux qu'on cherche en facteur.
Que faire quand le nombre est grand ?
On le décompose en facteurs premiers : 200 = 2³ × 5². Chaque exposant pair sort de la racine, 2² et 5² donnent 2 × 5 = 10.
Extraire un carré change-t-il la valeur du nombre ?
Non, seulement son écriture : √(200) et 10√(2) valent tous deux environ 14,14.

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