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Méthode · Seconde

Résoudre une équation x² = k

Résoudre x² = k commence toujours par l'examen du signe de k, car c'est lui qui fixe le nombre de solutions. Négatif, l'équation n'a aucune solution réelle, un carré ne pouvant pas être négatif. Nul, il y a une solution unique, x = 0. Positif, il y a deux solutions opposées, √(k) et -√(k). Si l'équation n'est pas déjà sous cette forme, on l'isole d'abord : le carré doit être seul d'un côté avant toute conclusion.

Les étapes

  1. 1

    Regarder le signe de k

    Si k < 0 : aucune solution (un carré est positif). Si k = 0 : une solution, x = 0. Si k > 0 : on continue.
  2. 2

    Donner les deux solutions

    Pour k > 0, les solutions sont x = √(k) et x = -√(k).

Exemple corrigé

Résoudre x² = 16, puis x² = 5, puis x² = -9.

  1. 1.x² = 16 : k = 16 > 0, donc x = 4 ou x = -4.
  2. 2.x² = 5 : k = 5 > 0, donc x = √(5) ou x = -√(5).
  3. 3.x² = -9 : k = -9 < 0, donc aucune solution réelle.
Résultat : {-4 ;4} ; {-√(5) ;√(5)} ; ∅.

Deuxième exemple

Résoudre 3x² - 27 = 0.

  1. 1.On isole le carré : 3x² = 27, donc x² = 9.
  2. 2.k = 9 > 0 : il y a deux solutions opposées.
  3. 3.x = √(9) = 3 ou x = -3.
Résultat : S = {-3 ;3}.

Piège à éviter

Toujours donner les deux solutions opposées quand k > 0, et conclure « pas de solution » quand k < 0.

Questions fréquentes

Que répondre quand k est négatif ?
Que l'équation n'a pas de solution dans les réels, et l'on écrit S = ∅. C'est une réponse complète.
Pourquoi isoler le carré d'abord ?
Parce que la règle porte sur x² seul. Prendre la racine de 27 au lieu de 9 donnerait un résultat faux.
Comment vérifier ses solutions ?
En les remplaçant dans l'équation de départ : 3× 9 - 27 = 0 ✓ pour x = 3 comme pour x = -3.

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