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Méthode · Seconde

Simplifier une racine carrée

Simplifier une racine carrée, c'est en sortir tout ce qui peut l'être pour obtenir la forme exacte la plus courte. On décompose le nombre sous la racine en produit d'un carré parfait et d'un reste, puis on sépare la racine en deux et on extrait le carré. Le seul choix à faire est celui du carré parfait : prendre le plus grand possible évite d'avoir à recommencer. Le résultat, du type k√(a), est une valeur exacte, contrairement à ce qu'affiche la calculatrice.

Les étapes

  1. 1

    Décomposer

    On écrit le nombre comme produit d'un carré parfait et d'un reste.
  2. 2

    Séparer la racine

    √(k² × a) = √(k²)×√(a).
  3. 3

    Sortir le carré

    = k√(a).

Exemple corrigé

Simplifier √(50).

  1. 1.50 = 25 × 2 (et 25 est un carré parfait).
  2. 2.√(50) = √(25)×√(2).
  3. 3.= 5√(2).
Résultat : √(50) = 5√(2).

Deuxième exemple

Simplifier √(98).

  1. 1.On cherche le plus grand carré parfait qui divise 98 : c'est 49, car 98 = 49 × 2.
  2. 2.√(98) = √(49)×√(2).
  3. 3.= 7√(2), et 2 n'a plus de facteur carré.
Résultat : 7√(2).

Piège à éviter

Vérifier qu'il ne reste plus de carré parfait sous la racine à la fin.

Questions fréquentes

Comment trouver le bon carré parfait ?
On teste les carrés en descendant (100, 81, 64, 49…) jusqu'à en trouver un qui divise le nombre. La décomposition en facteurs premiers fonctionne aussi.
Que faire si j'ai choisi un carré trop petit ?
Rien de grave : on simplifie à nouveau. √(98) = 2√(24,5) est faux, mais √(72) = 2√(18) = 2 × 3√(2) = 6√(2) aboutit au bon résultat en une étape de plus.
Comment vérifier le résultat ?
On élève au carré : (7√(2))² = 49 × 2 = 98 ✓. Une valeur approchée à la calculatrice permet aussi un contrôle rapide.

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