Une fonction ne change de signe qu'en ses zéros : la formule et un exemple

Q: Une fonction peut-elle changer de signe sans s'annuler ?

Oui si elle n'est pas continue : 1/x passe du négatif au positif en franchissant 0, où elle n'est pas définie.

Q: Pourquoi chercher les zéros en premier ?

Parce qu'ils délimitent les zones de signe constant. Une fois trouvés, un seul test par intervalle suffit.

Q: Que faire des valeurs interdites dans un tableau de signes ?

On les fait figurer comme les zéros, avec une double barre : elles découpent l'axe même si la fonction ne s'y annule pas.

Ce que dit la formule

Une fonction continue ne peut passer du positif au négatif (ou l'inverse) qu'en s'annulant. On commence donc toujours par chercher les valeurs où $f (x) = 0$ f(x) = 0.

Ces zéros (et les valeurs interdites) découpent l'axe en intervalles sur lesquels le signe est constant.

Ce résultat justifie toute la méthode du tableau de signes : on cherche d'abord les zéros, seuls endroits où le signe peut basculer, puis on teste une valeur par intervalle.

La continuité est indispensable : une fonction qui « saute » peut changer de signe sans jamais s'annuler.

Exemple

2 x - 4

2x - 4 s'annule en

x = 2

x = 2 : c'est le seul endroit où cette fonction affine change de signe.

Deuxième exemple

f (x) = \frac{1}{x}

f(x) = 1/x change de signe entre

- 1

-1 et

1

1 sans jamais s'annuler : elle n'est pas continue en

0

0. C'est la valeur interdite, et non un zéro, qui découpe ici l'axe.

Piège à éviter

Une valeur interdite découpe aussi l'axe, même si la fonction ne s'y annule pas.

Les autres formules de le signe d'une fonction

Principe du tableau de signes →

f (x) > 0, f (x) = 0, f (x) < 0

f(x) > 0, f(x) = 0, f(x) < 0 Règle des signes (produit et quotient) →

(+) (+) = +, (-) (-) = +, (+) (-) = -

(+)(+) = +, (-)(-) = +, (+)(-) = -

Questions fréquentes

Une fonction peut-elle changer de signe sans s'annuler ?

Oui si elle n'est pas continue :

\frac{1}{x}

1/x passe du négatif au positif en franchissant

0

0, où elle n'est pas définie.

Pourquoi chercher les zéros en premier ?

Parce qu'ils délimitent les zones de signe constant. Une fois trouvés, un seul test par intervalle suffit.

Que faire des valeurs interdites dans un tableau de signes ?

On les fait figurer comme les zéros, avec une double barre : elles découpent l'axe même si la fonction ne s'y annule pas.

Notions liées

Pour aller plus loin, explore les notions du même thème.

Tout sur fonctions en seconde

Des généralités aux fonctions de référence : image, antécédent, variations, courbes et fonctions usuelles.

Formule : Une fonction ne change de signe qu'en ses zéros