Règle des signes (produit et quotient) : la formule et un exemple

Q: Comment traiter un produit de trois facteurs ou plus ?

On compte les facteurs négatifs : un nombre pair donne un produit positif, un nombre impair un produit négatif.

Q: La règle est-elle la même pour un quotient ?

Oui, exactement : seul compte le nombre de facteurs négatifs, qu'ils soient au numérateur ou au dénominateur.

Q: Que se passe-t-il si un facteur est nul ?

Le produit entier est nul. Dans un tableau de signes, on écrit 0 dans cette colonne.

Ce que dit la formule

Un produit $A \times B$ A × B (ou un quotient $\frac{A}{B}$ A/B) est positif quand $A$ A et $B$ B ont le même signe, et négatif quand ils ont des signes contraires.

Dans un tableau de signes, on étudie le signe de chaque facteur séparément, puis on multiplie les signes colonne par colonne pour obtenir celui de la fonction.

La règle se retient en une phrase : même signe donne positif, signes contraires donnent négatif. Elle vaut pour un produit comme pour un quotient, avec autant de facteurs qu'on veut.

Avec plusieurs facteurs, un raccourci utile : le résultat est négatif si et seulement si le nombre de facteurs négatifs est impair.

Exemple

Pour

f (x) = (2 x - 4) (x + 1)

f(x) = (2x-4)(x+1) avec

x = 0

x = 0 :

2 x - 4 = - 4 (-)

2x-4 = -4 (-) et

x + 1 = 1 (+)

x+1 = 1 (+), donc

(-) (+) = -

(-)(+) = - :

f (0) < 0

f(0) < 0.

Deuxième exemple

Pour

f (x) = (x - 1) (x + 2) (x - 4)

f(x) = (x-1)(x+2)(x-4) en

x = 0

x = 0 : les facteurs valent

- 1

-1,

2

2 et

- 4

-4. Deux facteurs négatifs, nombre pair : le produit est positif, et vaut effectivement

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Piège à éviter

Pour un quotient, ne pas oublier la valeur interdite (dénominateur nul) : la fonction n'y a pas de signe, elle n'existe pas.

Les autres formules de le signe d'une fonction

Principe du tableau de signes →

f (x) > 0, f (x) = 0, f (x) < 0

f(x) > 0, f(x) = 0, f(x) < 0 Une fonction ne change de signe qu'en ses zéros →

f continue : changement de signe \Rightarrow f s’annule

f continue : changement de signe ⇒ f s'annule

Questions fréquentes

Comment traiter un produit de trois facteurs ou plus ?

On compte les facteurs négatifs : un nombre pair donne un produit positif, un nombre impair un produit négatif.

La règle est-elle la même pour un quotient ?

Oui, exactement : seul compte le nombre de facteurs négatifs, qu'ils soient au numérateur ou au dénominateur.

Que se passe-t-il si un facteur est nul ?

Le produit entier est nul. Dans un tableau de signes, on écrit

0

0 dans cette colonne.

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