MathLvl
Formule · Seconde

Formule : Tester l'appartenance

On vérifie la double inégalité selon les crochets.

x ∈ [a ;b] ⇔ a ≤ x ≤ b

Ce que dit la formule

Pour [a ;b] : x ∈ [a ;b] si a ≤ x ≤ b. Pour ]a ;b[ : a < x < b (bornes exclues).

Le point délicat est sur les bornes elles-mêmes : incluses (fermé) ou non (ouvert).

Tester une appartenance revient à vérifier une double inégalité. Le seul point délicat est le type de chaque inégalité — large ou stricte — qui doit correspondre exactement au crochet écrit.

En pratique, un nombre strictement compris entre les bornes appartient toujours à l'intervalle ; seule l'égalité avec une borne oblige à regarder le crochet.

Exemple

3 ∈ [2 ;5] (car 2 ≤ 3 ≤ 5) ; 5 ∉ ]2 ;5[ (borne exclue).

Deuxième exemple

Pour l'intervalle [-3 ;1[ : -3 y appartient (crochet fermé à gauche), 0 aussi (strictement à l'intérieur), mais 1 non (crochet ouvert à droite).

Piège à éviter

Une borne avec crochet ouvert n'appartient pas à l'intervalle.

Les autres formules de l'appartenance à un intervalle

Appartenance à un intervalle non borné →x∈[a ;+∞[ ⇔ x≥ a x∈ ]-∞ ;b] ⇔ x≤ b

Questions fréquentes

Quelle double inégalité correspond à un intervalle semi-ouvert ?
Pour [a ;b[, la condition est a ≤ x < b : large du côté fermé, stricte du côté ouvert.
Faut-il vérifier les deux bornes à chaque fois ?
Oui, un nombre doit satisfaire les deux conditions simultanément. Vérifier une seule inégalité ne suffit pas à conclure.
Un intervalle peut-il être vide ?
Oui : ]2 ;2[ ne contient aucun nombre, puisqu'aucun réel n'est à la fois strictement supérieur et strictement inférieur à 2.

Notions liées

Pour aller plus loin, explore les notions du même thème.

Tout sur calcul littéral et équations en seconde

Développer, factoriser, résoudre équations et inéquations, et maîtriser les racines carrées et les intervalles.

Retrouve la notion complète : définitions, méthodes et exercices corrigés.

L'appartenance à un intervalle →