Notion

L'appartenance à un intervalle

Q: Comment savoir si un nombre est dans un intervalle ?

On regarde s'il est compris entre les deux bornes. 3 est dans [2 ; 5] car 2 ≤ 3 ≤ 5.

Q: Que faire si le nombre est égal à une borne ?

On regarde le crochet : fermé [ → la borne est incluse (le nombre appartient) ; ouvert ] → exclue (il n'appartient pas). 5 n'est pas dans ]2 ; 5[.

Q: Pourquoi les crochets sont importants ?

Parce qu'ils décident de l'inclusion des bornes. C'est tout l'enjeu : [2 ; 5] contient 5, mais [2 ; 5[ ne le contient pas.

Q: Comment noter qu'un nombre appartient à un intervalle ?

Avec le symbole ∈. Par exemple 4 ∈ [2 ; 5] se lit « 4 appartient à l'intervalle [2 ; 5] ».

Q: 5 appartient-il à [2 ; 5[ ?

Non : le crochet ouvert en 5 exclut cette borne. 5 appartient à [2 ; 5] mais pas à [2 ; 5[.

Dire qu'un nombre $x$ x appartient à un intervalle, c'est vérifier qu'il est situé entre les bornes, en respectant l'inclusion ou l'exclusion indiquée par les crochets. Pour $[a; b]$ [a ;b], on teste la double inégalité $a \leq x \leq b$ a≤ x≤ b ; pour $] a; b [$ ]a ;b[, on exige des inégalités strictes $a < x < b$ a<x<b. Ainsi $3 \in [2; 5]$ 3∈[2 ;5] mais $5 \in /] 2; 5 [$ 5∉ ]2 ;5[ car la borne est exclue. Pour un intervalle non borné comme $[0; + \infty [$ [0 ;+∞[, il suffit que $x \geq 0$ x≥0. Cette notion sert à décrire un ensemble de solutions, un domaine de définition ou une contrainte, et se note avec le symbole d'appartenance $\in$ ∈.

Définitions

Appartenance à un intervalle: Un nombre $x$ x appartient à un intervalle s'il est compris entre les bornes, en respectant l'inclusion ou l'exclusion indiquée par les crochets.
Borne ouverte ou fermée: Crochet tourné vers l'intérieur ( $[a$ [a ou $b]$ b]) : borne incluse. Crochet ouvert : borne exclue. Ainsi $3 \in [3; 5]$ 3∈[3 ;5] mais $3 \in /] 3; 5]$ 3∉ ]3 ;5].

Formules

Les formules à connaître. Clique sur une formule pour la fiche détaillée.

Tester l'appartenance →

x \in [a; b] ⟺ a \leq x \leq b

x ∈ [a ;b] ⇔ a ≤ x ≤ bOn vérifie la double inégalité selon les crochets.Appartenance à un intervalle non borné →

x \in [a; + \infty [⟺ x \geq a x \in] - \infty; b] ⟺ x \leq b

x∈[a ;+∞[ ⇔ x≥ a x∈ ]-∞ ;b] ⇔ x≤ bDu côté de l'infini, la borne est toujours ouverte.

Méthodes

Les démarches pas à pas. Clique pour la méthode complète avec exemple résolu.

Vérifier l'appartenance à un intervalle →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Appartient

Niveau 1 · Application directe

Le nombre

3

3 appartient-il à

[2; 5]

[2 ;5] ?

Voir la correction

1.
$2 \leq 3 \leq 5$ 2 ≤ 3 ≤ 5.
→ Tester l'appartenance
2.
Oui, $3 \in [2; 5]$ 3 ∈ [2 ;5].

Réponse : Oui.

Méthode utilisée : On vérifie l'encadrement $2 \leq 3 \leq 5$ 2≤ 3≤ 5.

Erreur fréquente : Hésiter sur les bornes incluses.

Borne exclue

Niveau 2 · Méthode complète

Le nombre

5

5 appartient-il à

] 2; 5 [

]2 ;5[ ?

Voir la correction

1.
$5$ 5 est la borne supérieure, et le crochet est ouvert.
→ Tester l'appartenance
2.
La borne est exclue : $5 \in /] 2; 5 [$ 5 ∉ ]2 ;5[.

Réponse : Non.

Méthode utilisée : Crochet ouvert en $5$ 5 : la borne est exclue.

Erreur fréquente : Inclure une borne ouverte.

Faire les 10 exercices types sur appartenance à un intervalle8 autres exercices corrigés pas à pas, du plus simple au plus complet.

Questions fréquentes

Comment savoir si un nombre est dans un intervalle ?

On regarde s'il est compris entre les deux bornes. 3 est dans [2 ; 5] car 2 ≤ 3 ≤ 5.

Que faire si le nombre est égal à une borne ?

On regarde le crochet : fermé [ → la borne est incluse (le nombre appartient) ; ouvert ] → exclue (il n'appartient pas). 5 n'est pas dans ]2 ; 5[.

Pourquoi les crochets sont importants ?

Parce qu'ils décident de l'inclusion des bornes. C'est tout l'enjeu : [2 ; 5] contient 5, mais [2 ; 5[ ne le contient pas.

Comment noter qu'un nombre appartient à un intervalle ?

Avec le symbole ∈. Par exemple 4 ∈ [2 ; 5] se lit « 4 appartient à l'intervalle [2 ; 5] ».

5 appartient-il à [2 ; 5[ ?

Non : le crochet ouvert en 5 exclut cette borne. 5 appartient à [2 ; 5] mais pas à [2 ; 5[.

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