Appartenance à un intervalle non borné : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

Un intervalle peut être non borné d'un côté : $[a; + \infty [$ [a ;+∞[ contient tous les nombres supérieurs ou égaux à $a$ a, et $] - \infty; b]$ ]-∞ ;b] tous ceux inférieurs ou égaux à $b$ b.

Du côté de l'infini, le crochet est toujours ouvert, car $+ \infty$ +∞ et $- \infty$ -∞ ne sont pas des nombres et n'appartiennent jamais à l'intervalle.

Un intervalle non borné décrit une condition à un seul seuil : « au moins $a$ a » ou « au plus $b$ b ». C'est la forme que prend l'ensemble des solutions d'une inéquation du premier degré.

La réunion de deux intervalles non bornés sert à décrire un ensemble privé d'une zone : $] - \infty; 1 [\cup] 3; + \infty [$ ]-∞ ;1[ ∪ ]3 ;+∞[ désigne les nombres situés hors de $[1; 3]$ [1 ;3].

Exemple

1000 \in [0; + \infty [

1000∈[0 ;+∞[ ;

- 3 \in] - \infty; 2]

-3∈ ]-∞ ;2] ;

2 \in] - \infty; 2]

2∈ ]-∞ ;2] mais

2 \in /] - \infty; 2 [

2∉ ]-∞ ;2[.

Deuxième exemple

L'ensemble de définition de la fonction racine carrée s'écrit

[0; + \infty [

[0 ;+∞[ : la borne

0

0 est incluse puisque

0

√(0) existe, et le côté infini reste ouvert.

Piège à éviter

Toujours un crochet ouvert du côté de

\pm \infty

±∞.

Les autres formules de l'appartenance à un intervalle

Tester l'appartenance →

x \in [a; b] ⟺ a \leq x \leq b

x ∈ [a ;b] ⇔ a ≤ x ≤ b

Questions fréquentes

Pourquoi l'infini est-il toujours du côté ouvert ?

Parce que

+ \infty

+∞ et

- \infty

-∞ ne sont pas des nombres : aucun réel ne leur est égal, ils ne peuvent donc pas appartenir à l'intervalle.

Comment traduire une inéquation du type x supérieur ou égal à 5 ?

Par

[5; + \infty [

[5 ;+∞[ : crochet fermé sur

5

5 car l'inégalité est large, ouvert du côté de l'infini.

Existe-t-il un intervalle non borné des deux côtés ?

Oui :

] - \infty; + \infty [

]-∞ ;+∞[, qui n'est autre que

R

ℝ tout entier.

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Formule : Appartenance à un intervalle non borné