Inverse : définition et variations : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

$f (x) = \frac{1}{x}$ f(x) = 1/x est définie pour $x \neq = 0$ x ≠ 0. Elle est décroissante sur $] - \infty; 0 [$ ]-∞ ;0[ et décroissante sur $] 0; + \infty [$ ]0 ;+∞[ (mais pas sur $R$ ℝ entier).

Elle ne s'annule jamais : $\frac{1}{x} = 0$ 1/x = 0 n'a pas de solution.

La coupure en $0$ 0 est ce qui distingue cette fonction des autres fonctions de référence : son ensemble de définition est en deux morceaux, et toutes ses propriétés se lisent morceau par morceau.

Le produit $x \times f (x)$ x × f(x) vaut $1$ 1 pour tout $x$ x non nul : c'est la définition même de l'inverse, et c'est ce qui donne à la courbe sa forme d'hyperbole.

Exemple

f (2) = \frac{1}{2}

f(2) = 1/2 ;

f (- 4) = - \frac{1}{4}

f(-4) = -1/4 ;

f (\frac{1}{2}) = 2

f (1/2) = 2.

Deuxième exemple

f (0, 1) = 10

f(0,1) = 10 et

f (10) = 0, 1

f(10) = 0,1 : plus

x

x est petit, plus son inverse est grand. C'est ce comportement qui rapproche la courbe des deux axes sans jamais les toucher.

Piège à éviter

La fonction n'est pas décroissante sur

R

ℝ : il y a une « coupure » en

0

Les autres formules de la fonction inverse

Parité de l'inverse →

f (- x) = \frac{1}{- x} = - \frac{1}{x} = - f (x)

f(-x) = 1/(-x) = -1/x = -f(x)

Questions fréquentes

Pourquoi la fonction inverse ne s'annule-t-elle jamais ?

Parce qu'une fraction est nulle uniquement si son numérateur l'est. Ici le numérateur vaut

1

1, donc

\frac{1}{x}

1/x ne peut jamais valoir

0

Que devient l'inverse quand x devient très grand ?

Il se rapproche de

0

0 sans l'atteindre. La courbe longe l'axe des abscisses, qui est asymptote horizontale.

Un nombre et son inverse sont-ils toujours de même signe ?

Oui : le signe de

\frac{1}{x}

1/x est celui de

x

x. C'est pourquoi la courbe n'occupe que le premier et le troisième quadrant.

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