Parité de l'inverse : la formule et un exemple

Ce que dit la formule

Remplacer $x$ x par $- x$ -x change le signe du résultat : $f (- x) = - f (x)$ f(-x) = -f(x). La fonction est impaire.

Conséquence : la courbe est symétrique par rapport à l'origine.

Une fonction est impaire quand $f (- x) = - f (x)$ f(-x) = -f(x) pour tout $x$ x de son ensemble de définition. Ici le calcul est immédiat : $\frac{1}{- x} = - \frac{1}{x}$ 1/(-x) = -1/x.

Graphiquement, cela signifie que l'hyperbole est inchangée par une rotation d'un demi-tour autour de l'origine : la branche située dans le troisième quadrant est l'image de celle du premier.

Exemple

f (- 2) = - \frac{1}{2} = - f (2)

f(-2) = -1/2 = -f(2).

Deuxième exemple

f (- 5) = - \frac{1}{5} = - 0, 2

f(-5) = -1/5 = -0,2 et

f (5) = 0, 2

f(5) = 0,2 : on a bien

f (- 5) = - f (5)

f(-5) = -f(5). Les points

(5; 0, 2)

(5 ;0,2) et

(- 5; - 0, 2)

(-5 ;-0,2) sont symétriques par rapport à l'origine.

Les autres formules de la fonction inverse

Inverse : définition et variations →

f (x) = \frac{1}{x} (x \neq = 0)

f(x) = 1/x (x ≠ 0)

Questions fréquentes

Quelle différence entre une fonction paire et une fonction impaire ?

Paire :

f (- x) = f (x)

f(-x) = f(x), courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, comme

x^{2}

x². Impaire :

f (- x) = - f (x)

f(-x) = -f(x), courbe symétrique par rapport à l'origine, comme

\frac{1}{x}

1/x.

Faut-il vérifier la parité en 0 pour la fonction inverse ?

Non :

0

0 n'appartient pas à l'ensemble de définition. La symétrie se vérifie sur

] - \infty; 0 [\cup] 0; + \infty [

]-∞ ;0[ ∪ ]0 ;+∞[, qui est bien symétrique par rapport à

0

Une fonction peut-elle être ni paire ni impaire ?

Oui, et c'est le cas le plus fréquent :

f (x) = x + 1

f(x) = x+1 donne

f (- 1) = 0

f(-1) = 0 alors que

- f (1) = - 2

-f(1) = -2.

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