Racine carrée : domaine et variations : la formule et un exemple

Q: Comment comparer la racine carrée de x et x ?

Sur ]0 ;1[, √(x) > x (√(0,25) = 0,5 > 0,25). Sur ]1 ;+∞[, √(x) < x (√(4) = 2 < 4). Les deux courbes se croisent en 0 et en 1.

Q: Pourquoi la calculatrice refuse-t-elle la racine d'un nombre négatif ?

Parce qu'aucun nombre réel élevé au carré ne donne un résultat négatif. √(-4) n'a pas de sens dans les réels.

Ce que dit la formule

$f (x) = x$ f(x) = √(x) est définie pour $x \geq 0$ x ≥ 0 et croissante sur $[0; + \infty [$ [0 ;+∞[. Elle passe par $(0; 0)$ (0 ;0) et $(1; 1)$ (1 ;1), $(4; 2)$ (4 ;2), $(9; 3)$ (9 ;3).

Sa courbe croît de plus en plus lentement.

Le domaine $[0; + \infty [$ [0 ;+∞[ vient de la définition : $x$ √(x) est le nombre positif dont le carré vaut $x$ x, et aucun carré n'est négatif.

La croissance est de plus en plus lente : de $0$ 0 à $1$ 1, la courbe monte d'une unité ; il faut ensuite aller jusqu'à $4$ 4 pour monter d'une unité de plus, puis jusqu'à $9$ 9. C'est l'inverse de la fonction carré, dont la courbe se redresse.

Exemple

0 = 0

√(0) = 0,

4 = 2

√(4) = 2,

9 = 3

√(9) = 3.

Deuxième exemple

Entre

x = 1

x = 1 et

x = 4

x = 4,

x

√(x) passe de

1

1 à

2

2 : une hausse de

1

1 pour

3

3 unités parcourues. Entre

x = 4

x = 4 et

x = 9

x = 9, elle passe de

2

2 à

3

3 : la même hausse demande cette fois

5

5 unités.

Piège à éviter

La racine carrée n'existe pas pour les négatifs :

- 4

√(-4) n'a pas de sens.

Questions fréquentes

La racine carrée est-elle définie en 0 ?

Oui,

0 = 0

√(0) = 0. Le domaine est

[0; + \infty [

[0 ;+∞[, borne

0

0 incluse.

Comment comparer la racine carrée de x et x ?

Sur

] 0; 1 [

]0 ;1[,

x > x

√(x) > x (

0, 25 = 0, 5 > 0, 25

√(0,25) = 0,5 > 0,25). Sur

] 1; + \infty [

]1 ;+∞[,

x < x

√(x) < x (

4 = 2 < 4

√(4) = 2 < 4). Les deux courbes se croisent en

0

0 et en

1

Pourquoi la calculatrice refuse-t-elle la racine d'un nombre négatif ?

Parce qu'aucun nombre réel élevé au carré ne donne un résultat négatif.

- 4

√(-4) n'a pas de sens dans les réels.

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Exemple

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