Notion

La fonction racine carrée

La fonction racine carrée est définie sur $[0; + \infty [$ [0 ;+∞[ par $f (x) = x$ f(x)=√(x) : elle associe à un nombre positif l'unique nombre positif dont le carré vaut $x$ x. Elle n'existe pas pour les nombres négatifs, car aucun carré n'est négatif. Elle est strictement croissante sur $[0; + \infty [$ [0 ;+∞[ : plus $x$ x augmente, plus $x$ √(x) augmente, mais de plus en plus lentement. Sa courbe part de l'origine et se situe sous la droite $y = x$ y=x pour $x > 1$ x>1. La fonction racine carrée est la réciproque de la fonction carré sur les positifs ; elle sert à résoudre $x^{2} = k$ x²=k, à calculer des longueurs (théorème de Pythagore) ou des écarts-types en statistiques.

Définitions

Fonction racine carrée: C'est la fonction $f (x) = x$ f(x) = √(x), définie sur $[0; + \infty [$ [0 ;+∞[ (seuls les nombres positifs ou nuls ont une racine carrée réelle).
Croissance: La fonction racine carrée est croissante sur $[0; + \infty [$ [0 ;+∞[ : si $0 \leq a \leq b$ 0 ≤ a ≤ b, alors $a \leq b$ √(a) ≤ √(b).

Formules

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Racine carrée : domaine et variations →

f (x) = x, x \geq 0, croissante

f(x) = √(x), x ≥ 0, croissanteDéfinie sur les positifs, croissante.

Méthodes

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Étudier la fonction racine carrée →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Image de 4

Niveau 1 · Application directe

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f (4)

f(4) pour

f (x) = x

f(x) = √(x).

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1.
$4 = 2$ √(4) = 2.
→ Racine carrée : domaine et variations

Réponse :

2

Image de 9

Niveau 1 · Application directe

Calculer

f (9)

f(9).

Voir la correction

1.
$9 = 3$ √(9) = 3.
→ Racine carrée : domaine et variations

Réponse :

3

Faire les 10 exercices types sur fonction racine carrée8 autres exercices corrigés pas à pas, du plus simple au plus complet.

Questions fréquentes

C'est quoi la fonction racine carrée ?

C'est la fonction f(x) = √x : elle donne le nombre positif dont le carré vaut x. √9 = 3 car 3² = 9.

Pourquoi définie seulement sur les positifs ?

Parce qu'un carré est toujours positif : aucun nombre réel élevé au carré ne donne un négatif. √(−4) n'existe pas dans les réels.

Comment résoudre √x = k ?

On élève au carré : x = k² (si k ≥ 0). Par exemple √x = 3 donne x = 9. Si k est négatif, il n'y a pas de solution.

À quoi sert la racine carrée ?

Notamment à retrouver le côté d'un carré à partir de son aire, ou une longueur avec le théorème de Pythagore.

Quelle est la dérivée de la fonction racine carrée ?

La dérivée de √x est 1/(2√x), définie pour x > 0. Elle est positive, ce qui confirme que la fonction racine carrée est croissante.

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