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Méthode · Seconde

Étudier la fonction inverse

Étudier la fonction inverse f(x) = 1/x, c'est connaître quatre points : elle n'est pas définie en 0, elle est décroissante sur chacun des deux intervalles ]-∞ ;0[ et ]0 ;+∞[, elle est impaire, et sa courbe — une hyperbole — est symétrique par rapport à l'origine. Attention à la décroissance : elle vaut sur chaque intervalle séparément, jamais sur leur réunion, puisque f(-1) = -1 est plus petit que f(1) = 1.

Les étapes

  1. 1

    Domaine

    x ≠ 0.
  2. 2

    Variations

    Décroissante sur ]-∞ ;0[ et sur ]0 ;+∞[.
  3. 3

    Images et antécédents

    Image : 1/x. Antécédent de k : x = 1/k.

Exemple corrigé

Résoudre 1/x = 4.

  1. 1.1/x = 4 ⇔ x = 1/4.
Résultat : x = 1/4.

Deuxième exemple

Résoudre 1/x = -0,5.

  1. 1.1/x = -0,5 équivaut à x = 1/(-0,5).
  2. 2.x = -2.
  3. 3.Vérification : 1/(-2) = -0,5 ✓.
Résultat : x = -2.

Piège à éviter

Toujours vérifier que la valeur trouvée n'est pas 0.

Questions fréquentes

Pourquoi la fonction inverse n'est-elle pas décroissante sur tout son ensemble de définition ?
Parce que -1 < 1 alors que f(-1) = -1 < f(1) = 1 : l'ordre est conservé d'un intervalle à l'autre. La décroissance ne vaut que sur ]-∞ ;0[ et sur ]0 ;+∞[ pris séparément.
Le nombre 0 a-t-il une image ?
Non, on ne divise pas par 0. L'ensemble de définition est ℝ privé de 0.
Quels nombres sont leur propre inverse ?
1 et -1 : 1/1 = 1 et 1/(-1) = -1. Ce sont les deux points d'intersection de l'hyperbole avec la droite d'équation y = x.

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