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Méthode · Seconde

Résoudre graphiquement une inéquation

Résoudre graphiquement une inéquation f(x) > k revient à lire une position : on cherche les abscisses pour lesquelles la courbe se trouve au-dessus de la droite horizontale y = k. La méthode se fait en deux temps. On repère d'abord les frontières, c'est-à-dire les points d'intersection entre la courbe et la droite, qui donnent les bornes. On lit ensuite de quel côté la courbe se trouve sur chaque portion, et l'on conserve celles qui satisfont l'inégalité. Le type de crochet suit le sens de l'inégalité.

Les étapes

  1. 1

    Tracer y = k

    On trace l'horizontale et on repère les intersections avec la courbe.
  2. 2

    Choisir au-dessus ou en dessous

    Pour f(x) > k : portions au-dessus ; pour f(x) < k : portions en dessous.
  3. 3

    Lire les intervalles

    On lit les abscisses correspondantes sous forme d'intervalles.

Exemple corrigé

La courbe de f est au-dessus de y = 0 pour x < -1 et x > 2, en dessous entre. Résoudre f(x) > 0.

  1. 1.Frontières : x = -1 et x = 2 (où f(x) = 0).
  2. 2.f(x) > 0 là où la courbe est au-dessus de l'axe.
  3. 3.Solutions : x < -1 ou x > 2.
Résultat : S = ]-∞ ;-1[ ∪ ]2 ;+∞[.

Deuxième exemple

La courbe de f coupe la droite y = 2 aux abscisses -3 et 1, et se trouve en dessous entre ces valeurs. Résoudre f(x) ≤ 2.

  1. 1.Frontières : x = -3 et x = 1, où f(x) = 2.
  2. 2.On cherche où la courbe est en dessous ou sur la droite : c'est entre les deux abscisses.
  3. 3.L'inégalité étant large, les bornes sont incluses.
Résultat : S = [-3 ;1].

Piège à éviter

Inclure ou non les bornes selon l'inégalité (stricte > → bornes exclues).

Questions fréquentes

Comment repérer les frontières ?
Ce sont les abscisses des points d'intersection entre la courbe et la droite y = k : là où l'inégalité devient une égalité.
Au-dessus ou en dessous ?
Au-dessus pour f(x) > k, en dessous pour f(x) < k. On lit verticalement, la droite servant de repère.
Que faire si la courbe ne coupe jamais la droite ?
L'inéquation est soit vraie partout, soit fausse partout : on regarde la position de la courbe en un point quelconque pour trancher.

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