Résoudre x³ = k : la formule et un exemple

Q: Comment reconnaître un cube parfait ?

En connaissant les premiers : 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1 000.

Ce que dit la formule

L'équation $x^{3} = k$ x³ = k a toujours exactement une solution réelle, la racine cubique de $k$ k, qui a le même signe que $k$ k.

Pour les cubes parfaits, la solution est entière.

L'unicité de la solution vient de la stricte croissance de la fonction cube : chaque valeur est atteinte exactement une fois. C'est la différence majeure avec $x^{2} = k$ x² = k, qui admet deux solutions opposées dès que $k > 0$ k > 0.

La racine cubique conserve le signe : celle d'un nombre négatif est négative, ce qui n'a aucun équivalent pour la racine carrée.

Exemple

x^{3} = 8 ⟺ x = 2

x³ = 8 ⇔ x = 2 ;

x^{3} = - 27 ⟺ x = - 3

x³ = -27 ⇔ x = -3.

Deuxième exemple

x^{3} = - 64

x³ = -64 a pour unique solution

x = - 4

x = -4, car

(- 4)^{3} = - 64

(-4)³ = -64. En comparaison,

x^{2} = 64

x² = 64 en admet deux,

8

8 et

- 8

-8.

Piège à éviter

Contrairement à

x^{2} = k

x² = k, il n'y a qu'une seule solution (pas deux opposées).

Les autres formules de la fonction cube

Cube : variations →

f (x) = x^{3}, croissante sur R

f(x) = x³, croissante sur ℝ

Questions fréquentes

Pourquoi une seule solution alors que l'équation du carré en a deux ?

Parce que deux nombres opposés ont le même carré, mais des cubes opposés. La fonction cube ne repasse jamais par la même valeur.

La racine cubique d'un nombre négatif existe-t-elle ?

Oui, contrairement à la racine carrée : la racine cubique de

- 27

-27 vaut

- 3

-3.

Comment reconnaître un cube parfait ?

En connaissant les premiers :

1

8

27

27,

64

64,

125

125,

216

216,

343

343,

512

512,

729

729,

1000

1 000.

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Formule : Résoudre x³ = k