Cube : variations : la formule et un exemple

Q: La fonction cube est-elle paire ou impaire ?

Impaire : (-x)³ = -x³. Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine, et non par rapport à l'axe des ordonnées.

Q: Quelle est l'allure de la courbe autour de zéro ?

Elle s'aplatit : entre -1 et 1, les cubes sont plus petits en valeur absolue que les nombres eux-mêmes, puisque 0,5³ = 0,125.

Q: Le cube d'un nombre est-il toujours plus grand que ce nombre ?

Non. Pour x entre 0 et 1, x³ 1.

Ce que dit la formule

$f (x) = x^{3}$ f(x) = x³ est strictement croissante sur $R$ ℝ : l'ordre est conservé ( $a < b \Rightarrow a^{3} < b^{3}$ a < b ⇒ a³ < b³).

Contrairement au carré, elle prend des valeurs négatives (pour $x < 0$ x < 0).

La croissance est stricte sur $R$ ℝ entier : contrairement au carré, le cube ne rebrousse jamais chemin, ce qui rend la comparaison de deux cubes immédiate.

L'imparité $f (- x) = - f (x)$ f(-x) = -f(x) donne à la courbe sa symétrie par rapport à l'origine : la branche du troisième quadrant se déduit de celle du premier par un demi-tour.

Exemple

f (2) = 8

f(2) = 8 ;

f (- 3) = - 27

f(-3) = -27 ;

f (0) = 0

f(0) = 0.

Deuxième exemple

Comparer

(- 2)^{3}

(-2)³ et

(- 5)^{3}

(-5)³ : comme

- 5 < - 2

-5 < -2, on a

(- 5)^{3} < (- 2)^{3}

(-5)³ < (-2)³, soit

- 125 < - 8

-125 < -8. La croissance conserve l'ordre même chez les négatifs.

Piège à éviter

(- 3)^{3} = - 27

(-3)³ = -27 (négatif), alors que

(- 3)^{2} = 9

(-3)² = 9 (positif).

Les autres formules de la fonction cube

Résoudre x³ = k →

x^{3} = k ⟺ x = 3 k

x³ = k ⇔ x = racine 3-ième de (k)

Questions fréquentes

La fonction cube est-elle paire ou impaire ?

Impaire :

(- x)^{3} = - x^{3}

(-x)³ = -x³. Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine, et non par rapport à l'axe des ordonnées.

Quelle est l'allure de la courbe autour de zéro ?

Elle s'aplatit : entre

- 1

-1 et

1

1, les cubes sont plus petits en valeur absolue que les nombres eux-mêmes, puisque

0, 5^{3} = 0, 125

0,5³ = 0,125.

Le cube d'un nombre est-il toujours plus grand que ce nombre ?

Non. Pour

x

x entre

0

0 et

1

x^{3} < x

x³ < x. Ce n'est vrai que pour

x > 1

x > 1.

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