Notion

La fonction cube

Q: C'est quoi la fonction cube ?

C'est la fonction f(x) = x³ : elle élève un nombre au cube (le multiplie deux fois par lui-même). Par exemple 2³ = 2×2×2 = 8.

Q: Quelle différence avec la fonction carré ?

Le cube garde le signe : (−3)³ = −27 (négatif), alors que (−3)² = 9 (positif). Le cube est croissant partout, le carré non.

Q: Combien de solutions a x³ = k ?

Toujours une seule, contrairement à x² = k. Par exemple x³ = 8 donne uniquement x = 2.

Q: À quoi sert la fonction cube ?

Notamment au volume d'un cube : un cube d'arête x a pour volume x³. Doubler l'arête multiplie le volume par 8.

Q: Quelle est la dérivée de la fonction cube ?

La dérivée de x³ est 3x². Elle est positive (nulle en 0), donc la fonction cube est croissante sur ℝ.

La fonction cube est la fonction définie sur $R$ ℝ par $f (x) = x^{3}$ f(x)=x³. Elle est impaire, car $(- x)^{3} = - x^{3}$ (-x)³=-x³, donc sa courbe est symétrique par rapport à l'origine. Elle est strictement croissante sur $R$ ℝ tout entier : plus $x$ x augmente, plus $x^{3}$ x³ augmente, et elle prend toutes les valeurs réelles. En $0$ 0, sa tangente est horizontale et la courbe présente un point d'inflexion : elle est concave pour $x < 0$ x<0 et convexe pour $x > 0$ x>0. La fonction cube sert à modéliser des volumes, à résoudre des équations du type $x^{3} = k$ x³=k — qui ont toujours une unique solution réelle — et prépare l'étude des fonctions polynômes de degré 3.

Définitions

Fonction cube: C'est la fonction définie sur $R$ ℝ par $f (x) = x^{3}$ f(x) = x³. Elle prend toutes les valeurs réelles.
Croissance: La fonction cube est strictement croissante sur $R$ ℝ : si $a < b$ a < b, alors $a^{3} < b^{3}$ a³ < b³.
Fonction impaire: Elle est impaire : $(- x)^{3} = - x^{3}$ (-x)³ = -x³, donc $f (- x) = - f (x)$ f(-x) = -f(x). Sa courbe est symétrique par rapport à l'origine.

Formules

Les formules à connaître. Clique sur une formule pour la fiche détaillée.

Cube : variations →

f (x) = x^{3}, croissante sur R

f(x) = x³, croissante sur ℝStrictement croissante, impaire, définie partout.Résoudre x³ = k →

x^{3} = k ⟺ x = 3 k

x³ = k ⇔ x = racine 3-ième de (k)Une seule solution pour tout k réel.

Méthodes

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Étudier la fonction cube →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

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Image de 2

Niveau 1 · Application directe

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f (2)

f(2) pour

f (x) = x^{3}

f(x) = x³.

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1.
$f (2) = 2^{3} = 8$ f(2) = 2³ = 8.
→ Cube : variations

Réponse :

8

Image négative

Niveau 1 · Application directe

Calculer

f (- 3)

f(-3).

Voir la correction

1.
$f (- 3) = (- 3)^{3} = - 27$ f(-3) = (-3)³ = -27.
→ Cube : variations

Réponse :

- 27

-27.

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Questions fréquentes

C'est quoi la fonction cube ?

C'est la fonction f(x) = x³ : elle élève un nombre au cube (le multiplie deux fois par lui-même). Par exemple 2³ = 2×2×2 = 8.

Quelle différence avec la fonction carré ?

Le cube garde le signe : (−3)³ = −27 (négatif), alors que (−3)² = 9 (positif). Le cube est croissant partout, le carré non.

Combien de solutions a x³ = k ?

Toujours une seule, contrairement à x² = k. Par exemple x³ = 8 donne uniquement x = 2.

À quoi sert la fonction cube ?

Notamment au volume d'un cube : un cube d'arête x a pour volume x³. Doubler l'arête multiplie le volume par 8.

Quelle est la dérivée de la fonction cube ?

La dérivée de x³ est 3x². Elle est positive (nulle en 0), donc la fonction cube est croissante sur ℝ.

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