Valeur absolue : variations : la formule et un exemple

Q: Pourquoi deux formules pour une seule fonction ?

Parce que le traitement dépend du signe : on garde le nombre s'il est positif, on prend son opposé s'il est négatif. Une seule expression ne peut pas couvrir les deux cas.

Q: La valeur absolue d'un opposé change-t-elle ?

Non : |-x| = |x|. C'est exactement ce que traduit la parité de la fonction.

Q: Où retrouve-t-on la valeur absolue ailleurs ?

Dans √(x²) = |x|, dans l'écart-type d'une transformation affine, et partout où l'on mesure une distance ou un écart.

Ce que dit la formule

$∣ x ∣$ |x| vaut $x$ x pour les positifs et $- x$ -x pour les négatifs. Elle est décroissante sur $] - \infty; 0]$ ]-∞ ;0], croissante sur $[0; + \infty [$ [0 ;+∞[, de minimum $0$ 0 en $0$ 0.

Elle est toujours positive ou nulle.

La définition par morceaux traduit une idée simple : on enlève le signe. Pour un nombre positif il n'y a rien à faire, pour un négatif on prend son opposé, qui est positif.

Le résultat est toujours positif ou nul, ce qui explique que $∣ x ∣ = k$ |x| = k n'a pas de solution pour $k$ k négatif, et que la courbe ne descend jamais sous l'axe des abscisses.

Exemple

∣3∣ = 3

|3| = 3 ;

∣ - 5∣ = 5

|-5| = 5 ;

∣0∣ = 0

|0| = 0.

Deuxième exemple

∣ x - 4∣

|x-4| vaut

x - 4

x-4 si

x \geq 4

x ≥ 4, et

4 - x

4-x si

x < 4

x < 4. Pour

x = 1

x = 1, on obtient

∣1 - 4∣ = ∣ - 3∣ = 3

|1-4| = |-3| = 3, qui est bien la distance entre

1

1 et

4

Piège à éviter

∣ - 5∣ = 5

|-5| = 5 (positif) : la valeur absolue enlève le signe.

Les autres formules de la fonction valeur absolue

Équations et inéquations →

∣ x ∣ = k ⟺ x = k ou x = - k (k \geq 0) ∣ x ∣ < k ⟺ - k < x < k

|x| = k ⇔ x = k ou x = -k (k ≥ 0) |x| < k ⇔ -k < x < k

Questions fréquentes

Pourquoi deux formules pour une seule fonction ?

Parce que le traitement dépend du signe : on garde le nombre s'il est positif, on prend son opposé s'il est négatif. Une seule expression ne peut pas couvrir les deux cas.

La valeur absolue d'un opposé change-t-elle ?

Non :

∣ - x ∣ = ∣ x ∣

|-x| = |x|. C'est exactement ce que traduit la parité de la fonction.

Où retrouve-t-on la valeur absolue ailleurs ?

Dans

x^{2} = ∣ x ∣

√(x²) = |x|, dans l'écart-type d'une transformation affine, et partout où l'on mesure une distance ou un écart.

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