Notion

La fonction valeur absolue

Q: C'est quoi la valeur absolue ?

C'est la distance d'un nombre à zéro, donc toujours positive. |−5| = 5 et |3| = 3 : on « enlève le signe ».

Q: Pourquoi la courbe a une forme de V ?

Parce que la fonction descend pour les x négatifs et remonte pour les positifs, avec un point bas (le minimum 0) à l'origine : ça forme un V.

Q: Combien de solutions a |x| = 4 ?

Deux : 4 et −4, car ces deux nombres sont à distance 4 de zéro. Si on demande |x| = nombre négatif, il n'y a aucune solution.

Q: À quoi sert la valeur absolue ?

À mesurer une distance ou un écart, sans se soucier du sens. Par exemple l'écart entre deux nombres a et b est |a − b|.

Q: Comment résoudre |x| = a ?

Si a > 0, deux solutions : x = a ou x = −a. Si a = 0, une solution x = 0. Si a < 0, aucune solution (une valeur absolue est positive).

La fonction valeur absolue, notée $f (x) = ∣ x ∣$ f(x)=|x|, associe à chaque nombre sa distance à zéro : elle vaut $x$ x si $x \geq 0$ x≥0 et $- x$ -x si $x < 0$ x<0, et elle est donc toujours positive. Sa courbe est formée de deux demi-droites en forme de « V », symétriques par rapport à l'axe des ordonnées : la fonction est paire. Elle décroît sur $] - \infty; 0]$ ]-∞ ;0], atteint son minimum $0$ 0 en $x = 0$ x=0, puis croît sur $[0; + \infty [$ [0 ;+∞[. On l'utilise pour mesurer un écart ou une distance entre deux nombres ( $∣ a - b ∣$ |a-b|), pour résoudre des équations et inéquations du type $∣ x ∣ = k$ |x|=k ou $∣ x ∣ \leq k$ |x|≤ k, et elle prépare la notion d'intervalle centré.

Définitions

Valeur absolue: $∣ x ∣$ |x| est la distance de $x$ x à $0$ 0 : $∣ x ∣ = x$ |x| = x si $x \geq 0$ x ≥ 0, et $∣ x ∣ = - x$ |x| = -x si $x < 0$ x < 0. Elle est toujours positive ou nulle.
Courbe en V: La courbe de $∣ x ∣$ |x| forme un V de sommet l'origine : elle descend pour $x < 0$ x < 0, remonte pour $x > 0$ x > 0.
Fonction paire: La valeur absolue est paire : $∣ - x ∣ = ∣ x ∣$ |-x| = |x|, donc $f (- x) = f (x)$ f(-x) = f(x). Sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

Formules

Les formules à connaître. Clique sur une formule pour la fiche détaillée.

Valeur absolue : variations →

∣ x ∣ = {x - x si x \geq 0 si x < 0

|x| = x & si x ≥ 0 ; -x & si x < 0Distance à 0 : décroissante puis croissante.Équations et inéquations →

∣ x ∣ = k ⟺ x = k ou x = - k (k \geq 0) ∣ x ∣ < k ⟺ - k < x < k

|x| = k ⇔ x = k ou x = -k (k ≥ 0) |x| < k ⇔ -k < x < kDeux solutions pour une équation, un intervalle pour une inéquation.

Méthodes

Les démarches pas à pas. Clique pour la méthode complète avec exemple résolu.

Étudier la fonction valeur absolue →

3 étapes · exemple corrigé

Deux exercices pour vérifier

Cherche d'abord, puis clique sur « Voir la correction ». La série complète est sur la page d'exercices.

Valeur absolue d'un positif

Niveau 1 · Application directe

Calculer

∣3∣

|3|.

Voir la correction

1.
$3 \geq 0$ 3 ≥ 0 donc $∣3∣ = 3$ |3| = 3.
→ Valeur absolue : variations

Réponse :

3

Valeur absolue d'un négatif

Niveau 1 · Application directe

Calculer

∣ - 5∣

|-5|.

Voir la correction

1.
$- 5 < 0$ -5 < 0 donc $∣ - 5∣ = - (- 5) = 5$ |-5| = -(-5) = 5.
→ Valeur absolue : variations

Réponse :

5

Faire les 10 exercices types sur fonction valeur absolue8 autres exercices corrigés pas à pas, du plus simple au plus complet.

Questions fréquentes

C'est quoi la valeur absolue ?

C'est la distance d'un nombre à zéro, donc toujours positive. |−5| = 5 et |3| = 3 : on « enlève le signe ».

Pourquoi la courbe a une forme de V ?

Parce que la fonction descend pour les x négatifs et remonte pour les positifs, avec un point bas (le minimum 0) à l'origine : ça forme un V.

Combien de solutions a |x| = 4 ?

Deux : 4 et −4, car ces deux nombres sont à distance 4 de zéro. Si on demande |x| = nombre négatif, il n'y a aucune solution.

À quoi sert la valeur absolue ?

À mesurer une distance ou un écart, sans se soucier du sens. Par exemple l'écart entre deux nombres a et b est |a − b|.

Comment résoudre |x| = a ?

Si a > 0, deux solutions : x = a ou x = −a. Si a = 0, une solution x = 0. Si a < 0, aucune solution (une valeur absolue est positive).

Notions liées

Pour aller plus loin, explore les notions du même thème.

Tout sur fonctions en seconde

Des généralités aux fonctions de référence : image, antécédent, variations, courbes et fonctions usuelles.