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Formule · Seconde

Formule : Principe du tableau de signes

Le signe se lit sur un tableau, à partir des zéros et de la règle des signes.

f(x) > 0, f(x) = 0, f(x) < 0

Ce que dit la formule

Étudier le signe de f, c'est répartir l'axe des réels en intervalles où f(x) garde un signe constant (+ ou -). Les frontières sont les zéros de f (où f(x) = 0) et les valeurs interdites.

Pour une fonction factorisée (produit ou quotient), on étudie le signe de chaque facteur, puis on combine avec la règle des signes pour obtenir le signe de f.

Étudier un signe, c'est répondre à une question de position : où la courbe est-elle au-dessus de l'axe des abscisses, où est-elle en dessous ? Le tableau de signes en est la traduction écrite.

Pour une expression factorisée, on gagne beaucoup à ne jamais développer : chaque facteur s'étudie séparément, puis la règle des signes combine les résultats colonne par colonne.

Exemple

Pour f(x) = (2x-4)(x+1) : zéros en -1 et 2, puis f > 0 à l'extérieur de [-1 ;2] et f < 0 à l'intérieur.

Deuxième exemple

Pour f(x) = (x-1)/(x+2) : le numérateur s'annule en 1, le dénominateur en -2 qui est valeur interdite. Le quotient est positif hors de [-2 ;1] et négatif entre les deux.

Piège à éviter

Toujours commencer par les zéros et les valeurs interdites : ce sont les seules frontières possibles entre deux signes.

Les autres formules de le signe d'une fonction

Règle des signes (produit et quotient) →(+)(+) = +, (-)(-) = +, (+)(-) = -Une fonction ne change de signe qu'en ses zéros →f continue : changement de signe ⇒ f s'annule

Questions fréquentes

Pourquoi ne pas développer une expression factorisée ?
Parce que la forme factorisée donne directement les zéros. Développer ferait perdre cette information et obligerait à la retrouver.
Comment traiter un quotient ?
Comme un produit pour les signes, en ajoutant une double barre à la valeur interdite : la fonction n'y existe pas.
À quoi sert un tableau de signes ?
À résoudre des inéquations, à étudier les variations via le signe de la dérivée, et à déterminer la position d'une courbe par rapport à l'axe.

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