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Méthode · Seconde

Étudier la fonction cube

Étudier la fonction cube f(x) = x³, c'est retenir quatre traits qui la distinguent de la fonction carré. Elle est définie sur ℝ tout entier, strictement croissante partout — l'ordre est conservé sans exception —, impaire, donc de courbe symétrique par rapport à l'origine, et elle prend des valeurs négatives pour x négatif. Cette croissance stricte a une conséquence directe : l'équation x³ = k admet toujours une solution et une seule, quel que soit le réel k.

Les étapes

  1. 1

    Variations

    Strictement croissante sur ℝ.
  2. 2

    Parité

    Impaire : f(-x) = -f(x).
  3. 3

    Équations

    x³ = k a une unique solution.

Exemple corrigé

Résoudre x³ = 125.

  1. 1.x³ = 125 ⇔ x = 5 (car 5³ = 125).
Résultat : x = 5.

Deuxième exemple

Résoudre x³ = -64.

  1. 1.La fonction cube est strictement croissante sur ℝ : l'équation a une solution unique.
  2. 2.On cherche le nombre dont le cube vaut -64 : (-4)³ = -64.
  3. 3.La solution est bien du même signe que -64, donc négative.
Résultat : x = -4.

Piège à éviter

Une seule solution réelle pour x³ = k, de même signe que k.

Questions fréquentes

Sur quel ensemble la fonction cube est-elle définie ?
Sur ℝ tout entier, sans aucune valeur interdite. C'est une différence avec la fonction inverse ou la fonction racine carrée.
En quoi la fonction cube diffère-t-elle de la fonction carré ?
Le carré est positif partout et décroît puis croît ; le cube garde le signe de x et croît partout. x² = 4 a deux solutions, x³ = 8 n'en a qu'une.
Comment comparer deux cubes ?
En comparant directement les nombres : la croissance conserve l'ordre, donc a < b entraîne a³ < b³, y compris pour des nombres négatifs.

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